====== Linearfaktorzerlegung ======

Mit der **Linearfaktorzerlegung** stellst du ein Polynom durch seine **Linearfaktoren** dar. Aus dieser Produktform kannst du die **Nullstellen** direkt ablesen.

===== Grundidee =====

Bei der Linearfaktorzerlegung bringst du ein Polynom von der **Normalform**

\(f(x) = a_{n}x^{n} + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_{0}\)

in die **Produktform** (Linearfaktordarstellung)

\(f(x) = a · (x - x_{1})(x - x_{2}) \dots (x - x_{n})\)

Jede Klammer der Form ( \(x\) - Nullstelle ) ist ein **Linearfaktor**. Die Zahlen \(x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}\) sind die **Nullstellen** des Polynoms, \(a\) ist der **Vorfaktor**.

**Beispiele**

  * \(6x^{2} - 12x - 18 = 6 · (x + 1)(x - 3)\)
  * \(x^{2} + 3x - 4 = (x - 1)(x + 4)\)
  * \(x^{2} - 2x - 8 = (x + 2)(x - 4)\)

<WRAP important>
Hat eine Funktion keine Nullstellen, kann sie nicht weiter in Linearfaktoren zerlegt werden.
</WRAP>

===== Vorgehensweise =====

  - **Vorfaktor ausklammern** (Zahl vor der höchsten Potenz)
  - **Nullstellen berechnen**
  - **Linearfaktoren aufstellen** - für jede Nullstelle eine Klammer ( \(x\) - Nullstelle )
  - **Linearfaktoren in die Produktform bringen** (mit dem Vorfaktor)
  - **Probe durch Ausmultiplizieren**

Die Nullstellen berechnest du je nach Aufgabe mit der Mitternachtsformel, der pq-Formel oder der abc-Formel.

===== Beispiel: Polynom 2. Grades =====

\(f(x) = x^{2} + 4x + 3\)

**Schritt 1 - Vorfaktor ausklammern:** Der Vorfaktor von \(x^{2}\) ist 1, du musst nichts ausklammern.

**Schritt 2 - Nullstellen berechnen:** Setze \(f(x) = 0\) und löse, hier mit der Mitternachtsformel:

\(x_{1,2} = \frac{-4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 · 1 · 3}}{2 · 1}\)

Die Nullstellen liegen bei \(x_{1} = -1\) und \(x_{2} = -3\).

**Schritt 3 - Linearfaktoren aufstellen:**

\(x_{1} = -1\) → \((x - (-1)) = (x + 1)\)

\(x_{2} = -3\) → \((x - (-3)) = (x + 3)\)

**Schritt 4 - Produktform:**

\(f(x) = (x + 1)(x + 3)\)

**Schritt 5 - Probe durch Ausmultiplizieren:**

\(f(x) = (x + 1)(x + 3) = x^{2} + 3x + x + 3 = x^{2} + 4x + 3\)  ✓

===== Beispiel: mit Vorfaktor =====

\(f(x) = 2x^{2} + 3x + 1\)

**Schritt 1 - Vorfaktor ausklammern:** Den Vorfaktor 2 klammerst du aus und merkst ihn dir für später:

\(f(x) = 2 · (x^{2} + \frac{3}{2}x + \frac{1}{2})\)

**Schritt 2 - Nullstellen berechnen:** Mitternachtsformel auf den Term in der Klammer anwenden:

\(x_{1,2} = \frac{-\frac{3}{2} \pm \sqrt{(\frac{3}{2})^{2} - 4 · 1 · \frac{1}{2}}}{2 · 1}\)

\(x_{1} = -0{,}5\) und \(x_{2} = -1\)

**Schritt 3 - Linearfaktoren aufstellen:**

\(x_{1} = -0{,}5\) → \((x + 0{,}5)\)

\(x_{2} = -1\) → \((x + 1)\)

**Schritt 4 - Produktform** (mit dem Vorfaktor 2):

\(f(x) = 2 · (x + 0{,}5)(x + 1)\)

**Schritt 5 - Probe durch Ausmultiplizieren:**

\(2(x + 0{,}5)(x + 1) = (2x + 1)(x + 1) = 2x^{2} + 2x + x + 1 = 2x^{2} + 3x + 1\)  ✓

===== Polynome höheren Grades =====

Bei Funktionen mit Grad höher als 2 findest du die Nullstellen mit anderen Methoden:

  * Durch **Ausklammern** von \(x\) kannst du oft den Grad des Restpolynoms verringern.
  * Durch **Raten / Ausprobieren** findest du häufig eine erste Nullstelle. Bei ganzzahligen Koeffizienten sind die Teiler des konstanten Glieds gute Kandidaten.

==== Beispiel: Linearfaktorzerlegung mit Ausklammern ====

Enthält jeder Summand die Variable \(x\), kannst du \(x\) ausklammern und erhältst wieder eine quadratische Funktion.

\(f(x) = x^{3} - 6x^{2} + 5x\)

\(f(x) = x · (x^{2} - 6x + 5) = 0\)

**Schritt 1 - Vorfaktor ausklammern:** Der Vorfaktor von \(x^{3}\) ist 1.

**Schritt 2 - Nullstellen berechnen:** Da das Produkt 0 sein soll, setzt du die Faktoren einzeln gleich 0:

\(x_{1} = 0\)

\(x^{2} - 6x + 5 = 0\)  →  \(x_{2,3} = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^{2} - 4 · 1 · 5}}{2 · 1}\)  →  \(x_{2} = 5\) und \(x_{3} = 1\)

**Schritt 3 - Linearfaktoren aufstellen:**

\(x_{1} = 0\) → \((x - 0) = x\)

\(x_{2} = 5\) → \((x - 5)\)

\(x_{3} = 1\) → \((x - 1)\)

**Schritt 4 - Produktform:**

\(f(x) = x(x - 5)(x - 1)\)

**Schritt 5 - Probe durch Ausmultiplizieren:**

\(f(x) = (x^{2} - 5x)(x - 1) = x^{3} - x^{2} - 5x^{2} + 5x = x^{3} - 6x^{2} + 5x\)  ✓

===== Anwendung: Brüche kürzen =====

Die Linearfaktorzerlegung hilft beim Kürzen von Brüchen aus Polynomen (gebrochenrationale Terme). Du zerlegst Zähler und Nenner jeweils in Linearfaktoren und kürzt gleiche Faktoren.

\(g(x) = \frac{3x^{2} + 10x + 8}{2x^{2} - 4x - 16}\)

Mit der Mitternachtsformel erhältst du im Zähler die Nullstellen \(-2\) und \(-\frac{4}{3}\), im Nenner \(4\) und \(-2\):

\(g(x) = \frac{3(x + 2)(x + \frac{4}{3})}{2(x - 4)(x + 2)}\)

Da der Faktor \((x + 2)\) im Zähler und im Nenner steht, kannst du ihn kürzen:

\(g(x) = \frac{3(x + \frac{4}{3})}{2(x - 4)}\)

===== Merke =====

<WRAP important>
  * Aus einer Nullstelle \(x_{0} = -3\) wird der Linearfaktor \((x - (-3)) = (x + 3)\) - **nicht** \((x - 3)\).
  * Den **Vorfaktor** der Normalform darfst du in der Produktform nicht vergessen.
  * **Kontrolle** immer durch Ausmultiplizieren: Es muss das ursprüngliche Polynom entstehen.
</WRAP>

Quelle und weitere Beispiele: [[https://studyflix.de/mathematik/linearfaktorzerlegung-2438|Studyflix - Linearfaktorzerlegung]]