====== 1. Ein paar Grundregeln ====== Um algebraische Terme zu vereinfachen, müssen ein paar Grundregeln beachtet werden. Ohne diese Kenntnisse ist Algebra oft ein "Buch mit sieben Siegeln".\\ ---- //Beispiel://\\ \(\frac{8a^{2} + 8ab - 6b^{2}}{20a^{2} - 30ab + 10b^{2}} = \)?\\ \\ 1. Schritt: Faktorisieren der Terme im Zähler und im Nenner.\\ \(8a^{2} + 8ab - 6b^{2} = (xa + yb) · (za - wb)\) * Da \(-6b^{2}\) steht, ist klar, dass die Terme mit + und - vorkommen müssen. * Weiter gilt * \(x·z = 8\) * \(y·(-w) = -6\) * \(x·(-w) + y·z = 8\) * \(\Rightarrow\) \(8a^{2} + 8ab - 6b^{2} = (2a + 3b) · (4a - 2b)\) \(20a^{2} - 30ab + 10b^{2} = (xa - yb) · (za - wb)\) * Da \(ab\) negativ ist und \(b^{2}\) positiv, ist klar, dass die Terme mit - und - vorkommen müssen. * Weiter gilt * \(x·z = 20\) * \((-y)·(-w) = 10\) * \(x·(-w) + (-y)·z = -30\) * \(\Rightarrow\) \(20a^{2} - 30ab + 10b^{2} = (4a - 2b) · (5a - 5b)\) \\ 2. Schritt: Kürzen des Bruches\\ \(\frac{(2a + 3b) · (4a - 2b)}{(4a - 2b) · (5a - 5b)} = \frac{(2a + 3b)}{(5a - 5b)}\)\\ \\ 3. Schritt: Ausklammern\\ \(5a - 5b = 5 · (a - b) \Rightarrow \frac{(2a + 3b)}{(5a - 5b)} = \frac{(2a + 3b)}{5·(a - b)}= \frac{1}5\) · \(\frac{(2a + 3b)}{(a - b)}\) ---- Folgende Themen müssen "sitzen", um Algebraaufgaben stilsicher lösen zu können: * Vorzeichenregel * Punkt vor Strich * Assoziativ-, Kommutativ- und Distributivgesetz * Binome und Potenzen * Pascal'sches Dreieck * Faktorisieren * Bruchrechnen ==== Vorzeichenregel ==== \((-)·(-) = (+)\) und \((-)·(-)·(-) = (-)\)\\ \(5 · 5 = 25\)\\ \(5 · (-5) = -25\)\\ \((-5) · (-5) = 25\)\\ \(5 · 5 · 5 = 125\)\\ \(5 · 5 · (-5) = -125\)\\ \(5 · (-5) · (-5) = 125\)\\ \((-5) · (-5) · (-5) = -125\) Mehr dazu von [[https://studyflix.de/mathematik/minus-mal-minus-5372|Studyflix]] Bei einer geraden Anzahl negativer Vorzeichen, wird das Produkt positiv und bei einer ungeraden Anzahl negativ.\\ Das gilt auch bei der Division, da ja \(3 \div\ 5 = 3 · \frac{1}5 = \frac{3}5\) Weiter gilt\\ \(+ (-) = -\) und \(- (-) = +\)\\ \(5 + (-3) = 5 - 3 = 2\) und \(5 - (-3) = 5 + 3 = 8\) ==== Punkt vor Strich ==== Eine einfache Regel, die (leider) oft nicht beachtet wird, gerade dann beim Kürzen von Brüchen.\\ \\ 5 + 3 · 4 = 17\\ **Aber!** (5 + 3) · 4 = 32\\ \\ Was man leider immer wieder sieht...\\ ...\(\frac{5 + 3 · 4}{5 + 3} = 4\), was natürlich falsch ist, weil aus einer Strichoperation gekürzt wird. \\ **Aber!** \(\frac{(5 + 3) · 4}{5 + 3} = 4\), weil hier aus einer Punktoperation gekürzt wird.\\ Mehr dazu von [[https://studyflix.de/mathematik/punkt-vor-strich-2819|Studyflix]] ====Kommutativ-, Assoziativ- und Distributivgesetz==== So einfach, aber vielfach nicht bekannt. ===Kommutativgesetz=== \(5 + 3 = 3 + 5\) und \(5 · 3 = 3 · 5\) \\ **Aber!** \(5 - 3 \neq 3 - 5\) und \(5 \div 3 \neq 3 \div 5\)\\ Mehr dazu von [[https://studyflix.de/mathematik/kommutativgesetz-2733|Studyflix]] Das Kommutativgesetz gilt nur für Addition und Multiplikation! ===Assoziativgesetz=== \((5 + 2) + 7 = 5 + (2 + 7) = 14 \) und \((5 · 3) · 7 = 5 · (3 · 7) = 105\)\\ **Aber!** \((5 - 2) -7 \neq 5 - (2 - 7)\), da \((5 - 2) - 7 = 3 - 7 = -4\) und \(5 - (2 - 7) = 5 - (-5) = 10\)\\ sowie \((16 \div 2) \div 4 \neq 16 \div (2 \div 4)\), da \((16 \div 2) \div 4 = 8 \div 4 = 2\) und \(16 \div (2 \div 4) = 16 \div 0.5 = 32\)\\ Mehr dazu von [[https://studyflix.de/mathematik/assoziativgesetz-2735|Studyflix]] Das Assoziativgesetz gilt nur für Addition und Multiplikation! ===Distributivgesetz=== \(5 · (7 + 3) = 5·7 + 5·3 = 50\) und \((15 + 20) \div 5 = 15 \div 5 + 20 \div 5 = 7\)\\ **Aber!** \(20 \div (5 + 4) \neq 20 \div 5 + 20 \div 4\), da \(20 \div (4 + 5) = 20 \div 20 = 1\) und \(20 \div 5 + 20 \div 4 = 4 + 5 =9\)\\ Mehr dazu von [[https://studyflix.de/mathematik/distributivgesetz-2734|Studyflix]] Das Distibutivgesetz gilt bei der Division nur für den Zähler aber nicht für den Nenner! ---- Das Distributivgesetz wird oft auch als "Ausklammerregel" bezeichnet, weil ein Faktor aus einer Summe bzw. einer Differenz ausgeklammert wird.\\ \(208 + 117 = 13·(16 + 9)\)\\ Wie aber bestimmt man den ausgeklammerten Faktor, hier den Wert 13? Dazu dient der ggT (grösster gemeinsamer Teiler).\\ Durch Primfaktorzerlegung erhält man:\\ \(208 = 2 * 2 * 2 * 2 * 13\)\\ \(117 = 3 * 3 * 13\)\\ In beiden Zahlen ist 13 der grösste Teiler. Mehr dazu bei [[https://studyflix.de/mathematik/groesster-gemeinsamer-teiler-ggt-2642|Studyflix]] ---- [[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/|{{https://i.creativecommons.org/l/by-nc-sa/4.0/88x31.png}}]] (c) René Probst