Mit der Linearfaktorzerlegung stellst du ein Polynom durch seine Linearfaktoren dar. Aus dieser Produktform kannst du die Nullstellen direkt ablesen.
Bei der Linearfaktorzerlegung bringst du ein Polynom von der Normalform
\(f(x) = a_{n}x^{n} + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_{0}\)
in die Produktform (Linearfaktordarstellung)
\(f(x) = a · (x - x_{1})(x - x_{2}) \dots (x - x_{n})\)
Jede Klammer der Form ( \(x\) - Nullstelle ) ist ein Linearfaktor. Die Zahlen \(x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}\) sind die Nullstellen des Polynoms, \(a\) ist der Vorfaktor.
Beispiele
Hat eine Funktion keine Nullstellen, kann sie nicht weiter in Linearfaktoren zerlegt werden.
Die Nullstellen berechnest du je nach Aufgabe mit der Mitternachtsformel, der pq-Formel oder der abc-Formel.
\(f(x) = x^{2} + 4x + 3\)
Schritt 1 - Vorfaktor ausklammern: Der Vorfaktor von \(x^{2}\) ist 1, du musst nichts ausklammern.
Schritt 2 - Nullstellen berechnen: Setze \(f(x) = 0\) und löse, hier mit der Mitternachtsformel:
\(x_{1,2} = \frac{-4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 · 1 · 3}}{2 · 1}\)
Die Nullstellen liegen bei \(x_{1} = -1\) und \(x_{2} = -3\).
Schritt 3 - Linearfaktoren aufstellen:
\(x_{1} = -1\) → \((x - (-1)) = (x + 1)\)
\(x_{2} = -3\) → \((x - (-3)) = (x + 3)\)
Schritt 4 - Produktform:
\(f(x) = (x + 1)(x + 3)\)
Schritt 5 - Probe durch Ausmultiplizieren:
\(f(x) = (x + 1)(x + 3) = x^{2} + 3x + x + 3 = x^{2} + 4x + 3\) ✓
\(f(x) = 2x^{2} + 3x + 1\)
Schritt 1 - Vorfaktor ausklammern: Den Vorfaktor 2 klammerst du aus und merkst ihn dir für später:
\(f(x) = 2 · (x^{2} + \frac{3}{2}x + \frac{1}{2})\)
Schritt 2 - Nullstellen berechnen: Mitternachtsformel auf den Term in der Klammer anwenden:
\(x_{1,2} = \frac{-\frac{3}{2} \pm \sqrt{(\frac{3}{2})^{2} - 4 · 1 · \frac{1}{2}}}{2 · 1}\)
\(x_{1} = -0{,}5\) und \(x_{2} = -1\)
Schritt 3 - Linearfaktoren aufstellen:
\(x_{1} = -0{,}5\) → \((x + 0{,}5)\)
\(x_{2} = -1\) → \((x + 1)\)
Schritt 4 - Produktform (mit dem Vorfaktor 2):
\(f(x) = 2 · (x + 0{,}5)(x + 1)\)
Schritt 5 - Probe durch Ausmultiplizieren:
\(2(x + 0{,}5)(x + 1) = (2x + 1)(x + 1) = 2x^{2} + 2x + x + 1 = 2x^{2} + 3x + 1\) ✓
Bei Funktionen mit Grad höher als 2 findest du die Nullstellen mit anderen Methoden:
Enthält jeder Summand die Variable \(x\), kannst du \(x\) ausklammern und erhältst wieder eine quadratische Funktion.
\(f(x) = x^{3} - 6x^{2} + 5x\)
\(f(x) = x · (x^{2} - 6x + 5) = 0\)
Schritt 1 - Vorfaktor ausklammern: Der Vorfaktor von \(x^{3}\) ist 1.
Schritt 2 - Nullstellen berechnen: Da das Produkt 0 sein soll, setzt du die Faktoren einzeln gleich 0:
\(x_{1} = 0\)
\(x^{2} - 6x + 5 = 0\) → \(x_{2,3} = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^{2} - 4 · 1 · 5}}{2 · 1}\) → \(x_{2} = 5\) und \(x_{3} = 1\)
Schritt 3 - Linearfaktoren aufstellen:
\(x_{1} = 0\) → \((x - 0) = x\)
\(x_{2} = 5\) → \((x - 5)\)
\(x_{3} = 1\) → \((x - 1)\)
Schritt 4 - Produktform:
\(f(x) = x(x - 5)(x - 1)\)
Schritt 5 - Probe durch Ausmultiplizieren:
\(f(x) = (x^{2} - 5x)(x - 1) = x^{3} - x^{2} - 5x^{2} + 5x = x^{3} - 6x^{2} + 5x\) ✓
Die Linearfaktorzerlegung hilft beim Kürzen von Brüchen aus Polynomen (gebrochenrationale Terme). Du zerlegst Zähler und Nenner jeweils in Linearfaktoren und kürzt gleiche Faktoren.
\(g(x) = \frac{3x^{2} + 10x + 8}{2x^{2} - 4x - 16}\)
Mit der Mitternachtsformel erhältst du im Zähler die Nullstellen \(-2\) und \(-\frac{4}{3}\), im Nenner \(4\) und \(-2\):
\(g(x) = \frac{3(x + 2)(x + \frac{4}{3})}{2(x - 4)(x + 2)}\)
Da der Faktor \((x + 2)\) im Zähler und im Nenner steht, kannst du ihn kürzen:
\(g(x) = \frac{3(x + \frac{4}{3})}{2(x - 4)}\)
Quelle und weitere Beispiele: Studyflix - Linearfaktorzerlegung