3. Faktorisierung

Werden Summen bzw. Differenzen in Produktform geschrieben, so spricht man von Faktorisierung.
Dabei unterscheiden wir zwischen

ausklammern \( 6 +2a = 2·(3 + a) \)
zerlegen in Binome \( a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2\)
Polynomzerlegung \( 4x^3 + 14x^2 + 22x + 15 = (2x + 3)(2x^2 + 4x + 5)\)

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Ausklammern

Beim Ausklammern werden Koeffizienten, die in mehreren Termen stehen, vorgeklammert.

Beispiel: Ausklammern einer Konstanten
\( 6a - 3b + 9 = 3·(2a - b + 3)\)

Beispiel: Ausklammern einer Variablen
\( 5a + 3ab + 2a^2c = a·(5+3b +2ac)\)

Faktorisieren von Binomen

Bei den Binomen kennen wir die 3 Formen

\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \)
\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \)
\((a + b) (a - b) = a^2 - b^2 \)

Die Zerlegung eines reinen Binoms erfolgt anhand der Koeffizienten der Quadrate.
\(25a^2 + 30ab + 9b^2 = (\sqrt{25a^2} + \sqrt{9b^2}) = (5a + 3b)^2 \)
Bildet sich das Polynom aber aus 2 unterschiedlichen Termen, ist das Auffinden der korrekten Faktoren aufwändiger.

Beispiel: Zerlegen eines Polynoms in zwei Binome
\(8a^2 + 34ab + 21b^2 = (r·a + x·b)(s·a + y·b)\)
\(= rs·a^2 + ry·a+sx·b + xy·b^2) \)

Linearfaktorzerlegung

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Als Werkzeug das Hornerschema. mehr dazu von Hornerschema