de:modul:m114:learningunits:lu06:rsa

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 +====== LU06g - RSA-Verfahren im Detail ======
 +//Siehe auch [[http://de.wikipedia.org/wiki/RSA-Kryptosystem]]//
  
 +===== Entstehung =====
 +Whitfield Diffie und Martin Hellman hatten in den 1970er Jahren eine Theorie zur Public-Key-Krytographie veröffentlicht.
 +Die drei Mathematiker Rivest, Shamir und Adleman versuchten diese Theorie zu widerlegen.
 +Dabei stiessen sie auf ein Verfahren, bei dem sie keine Angriffspunkte fanden.
 +
 +Aus diesem Verfahren entstand 1977 RSA, das erste veröffentlichte Verschlüsselungsverfahren.
 +
 +===== Funktionsweise =====
 +
 +RSA basiert auf einem privaten Schlüssel (private key) und einem öffentlichen Schlüssel (public key).
 +Beide Schlüssel bestehen aus jeweils zwei Zahlen, die mit den Variablen ''d'', ''e'' und ''N'' bezeichnet werden:
 +  * Der public key besteht aus ''e'' und ''N''
 +  * Der private key besteht aus ''d'' und ''N''
 +  * **N** ist bei beiden Schlüsseln gleich und wird ''RSA-Modul'' genannt.
 +
 +Um die Schlüssel zu berechnen, geht man wie folgt vor:
 +  - Wähle zwei unabhängige, unterschiedliche Primzahlen ''p'' und ''q''.
 +    * Zum Beispiel: ''p = 11''  und ''q = 13''
 +  - Berechne das RSA-Modul: ''N = p * q''.
 +    * N = 11 * 13 = 143
 +  - Berechne die Eulersche ϕ-Funktion von ''N'': ''ϕ(N) = (p-1) * (q-1)''
 +    * ϕ(N) = 10 * 12 = 120
 +  - Wähle eine Zahl ''e'' die keinen gemeinsamen Teiler mit ''ϕ(N)'' hat. Man bezeichnet dies als [[http://de.wikipedia.org/wiki/Teilerfremdheit|teilerfremd]]
 +    * e = 23
 +  - Berechne die Zahl ''d'' mit Hilfe des [[http://de.wikipedia.org/wiki/Erweiterter_euklidischer_Algorithmus|erweiterten euklidischen Algorithmus]] anhand der Formel ''e * d + k * ϕ(N) = 1''.
 +    *  23 * 47 + (-9) * 120 = 1
 +
 +Somit erhalten wir den private key (47, 143) und den public key (23, 143).
 +
 +==== Verschlüsseln ====
 +Der Absender möchte die Klartext-Nachricht ''t'' verschlüsseln und dabei den Chiffre-Text ''c'' erhalten.
 +Er berechnet ''c = ( t''<sup>''e''</sup> '') mod N''
 +
 +=== Beispiel ===
 +Der Absender möchte die Zahl 7 verschlüsselt senden.
 +  * Der public key ist (e=23, N=143)
 +
 +  * ''c = ( 7''<sup>''23''</sup> '') mod 143  =  2''
 +
 +==== Entschlüsseln ====
 +Der Empfänger erhält den Chiffre-Text ''c'' und möchte den Klartext ''t'' erhalten.
 +Er berechnet ''t = ( c''<sup>''d''</sup> '') mod N''.
 +
 +=== Beispiel ===
 +Der Empfänger erhält den Chiffre-Text ''2''.
 +  * Der private key ist (d=47, N=143)
 +
 +  * ''t = ( 2''<sup>''47''</sup> '') mod 143  =  7''