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 +====== LU01b - Zahlensysteme: Einführung ======
 +
 +Ein Zahlensystem bestimmt die Symbole (0, 1, 2, ...) zur Notation von Zahlen und deren Bedeutung.
 +Die heute verwendeten Zahlensysteme sind sogenannte Stellenwertsysteme.
 +Das bedeutet: Der Wert eines Symbols ist abhängig davon, an welcher Stelle das Symbol steht.
 +
 +Hat man ein Stellenwertsystem verstanden, so können die Regeln auf jedes beliebige andere Stellenwertsystem übertragen.
 +
 +===== Dezimalsystem (10er-System) =====
 +Am vertrautesten ist uns das 10er-System, da wir es im Alltag gebrauchen.
 +Die Regeln für das 10er-System lauten:
 +  * Es gibt 10 unterschiedliche Symbole für die Ziffern (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9).
 +  * Der Wert des Symbols wird mit dem Wert der Stelle multipliziert.
 +    * Die Stelle direkt **links** vom Dezimalpunkt hat den Stellenwert **1**.
 +    * Nach links wird der Wert jeder Stelle mit 10 multipliziert.
 +    * Nach rechts wird der Wert jeder Stelle durch 10 dividiert.
 +
 +=== Beispiel ===
 +5'732.6<sub>10</sub> = 5*1'000 + 7*100 + 3*10 + 2*1 + 6*0.1
 +
 +===== Binärsystem (2er-System) =====
 +Das Binärsystem dient zur Speicherung und Verarbeitung von Informationen.
 +
 +Die Regeln für das 2er-System lauten:
 +  * Es gibt 2 unterschiedliche Symbole für die Ziffern (0, 1).
 +  * Der Wert des Symbols wird mit dem Wert der Stelle multipliziert.
 +    * Die Stelle direkt **links** vom Dezimalpunkt hat den Stellenwert **1**.
 +    * Nach links wird der Wert jeder Stelle mit 2 multipliziert.
 +    * Nach rechts wird der Wert jeder Stelle durch 2 dividiert.
 +
 +=== Beispiel ===
 +01011100.1001<sub>2</sub>  =  1*64 + 1*16 + 1*8 + 1*4 + 1*1/2 + 1*1/16
 +
 +===== Hexadezimales System (16er-System) =====
 +Zur Darstellung von binär codierten Zahlen, werden jeweils 4 binäre Ziffern zu einer hexadezimalen Ziffer zusammen gefasst.
 +Dadurch können Informationen kompakter dargestellt werden.
 +
 +Die Regeln für das 16er-System lauten:
 +  * Es gibt 16 unterschiedliche Symbole für die Ziffern (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F).
 +    * A entspricht dem Wert 10
 +    * B entspricht dem Wert 11
 +    * ...
 +    * F entspricht dem Wert 15
 +  * Der Wert des Symbols wird mit dem Wert der Stelle multipliziert.
 +    * Die Stelle direkt **links** vom Dezimalpunkt hat den Stellenwert **1**.
 +    * Nach links wird der Wert jeder Stelle mit 16 multipliziert.
 +    * Nach rechts wird der Wert jeder Stelle durch 16 dividiert.
 +
 +==== Beispiele ====
 +=== Hexadezimal in Dezimal umrechnen ===
 +A3C2<sub>16</sub>  = 10*4096 + 3*256 + 12*16 + 2*1 = 41922<sub>10</sub>
 +
 +== Binär in Hexadezimal umrechnen ==
 +<code>
 +
 +Binär: 0101 1100 1001 0011
 +Hex:     5    C    9    3
 +</code>
 +
 +
 +===== Zahlensysteme umrechnen =====
 +==== Umwandlung im 2er/8er/16er System ====
 +Die Zahlensysteme Binär (2er), Oktal (8er) und Hexadezimal (16er) lassen sich recht einfach umwandeln.
 +Das liegt daran, dass 2, 8 und 16 alles Potenzen der Zahl 2 sind:
 +
 +  * 2 = 2<sup>1</sup>
 +  * 8 = 2<sup>3</sup>
 +  * 16 = 2<sup>4</sup>
 +
 +Wollen wir eine Zahl vom Binär- ins Oktal-System umwandeln, so nehmen wir von rechts nach links jeweils 3 binäre Stellen und wandeln diese in 1 oktale Stelle um:
 +<code>
 +01 101 011 = 153
 +</code>
 +
 +Vom Hexadezimalsystem ins Binärsystem wandeln wir 1 hexadezimale Stelle in 4 binäre Stellen um:
 +
 +<code>
 +A31C = 1010 0011 0001 1100
 +</code>
 +
 +==== Umrechnen von/nach Dezimalsystem ====
 +Das Dezimalsystem basiert nicht auf einer Potenz der Zahl 2.
 +Daher müssen wir die Zahlen umrechnen und können nicht einfach Stellen ersetzen.
 +
 +=== Dezimalzahl umrechnen ===
 +Bei der Umrechnung einer Dezimalzahl divideren wir die Zahl immer wieder durch die neue Basis, z.B. 16.
 +Bei jeder Division notieren wir den ganzzahligen Rest.
 +
 +253<sub>10</sub> = FD<sub>16</sub>
 +<code>
 +253 / 16 = 15  Rest 13   => Notiere D
 + 15 / 16 =  0  Rest 15   => Notiere F
 +</code>
 +
 +253<sub>10</sub> = 375<sub>8</sub>
 +<code>
 +253 / 8 = 31  Rest 5
 + 31 / 8 =  3  Rest 7
 +  3 / 8 =  0  Rest 3
 +</code>
 +
 +=== Umrechnung ins Dezimalsystem ===
 +== System Multiplikation ==
 +
 +Bei der Umrechnung in eine Dezimalzahl wenden wir wiederholt eine Multiplikation und Addition an.
 +Dabei gehen wir von links nach rechts vor:
 +
 +375<sub>8</sub> = 253<sub>10</sub>
 +<code>
 + 0 * 8 + 3 = 3
 + 3 * 8 + 7 = 31
 +31 * 8 + 5 = 253
 +</code>
 +
 +== System Stellenwertsystem ==
 +Jede Zahl im Zehnersystem<sub>10</sub> hat einen bestimmten Stellenwert. 
 +
 +Schauen wir uns dazu die Zahl 732<sub>10</sub> an. 
 +<code>
 +732 ist die Summe aus:
 +
 +7*10^2  = 7 * 100 = 700 +
 +3*10^1  = 3 * 10  =  30 +
 +2*10^0  = 2 * 1   =   2 +
 +                    732
 +</code>
 +
 +Schauen wir uns dazu die Zahl A4B<sub>16</sub> an. 
 +<code>
 +A4B ist die Summe aus:
 +
 +A*16^2  = 10 * 256 = 2560 +
 +4*16^1  = 4  * 16  =   64 +
 +B*16^0  = 11 * 1   =   11 +
 +                     2635
 +</code>
 +
 +<WRAP center round tip 60%>
 +Genaueres erfahren Sie auf den nächsten Theorieseiten!
 +</WRAP>
 +
 +
 +
 +----
 +{{tag>m114-A1G m114-A1F}}
 +[[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/|{{https://i.creativecommons.org/l/by-nc-sa/4.0/88x31.png}}]] Marcel Suter
  
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