LU05.A06 - Cäsar-Verschlüsselung programmieren

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• Zeitbudget: 45 Minuten
• Sozialform: Einzelarbeit
• Hilfsmittel: Taschenrechner oder Computer mit Zugriff auf eine Programmierumgebung
• Erwartetes Ergebnis: Ausgefülltes Arbeitsblatt mit Ihren Berechnungen und Erklärungen

Das RSA-Verschlüsselungsverfahren ist ein weit verbreitetes asymmetrisches Kryptosystem, das für sichere Datenübertragungen verwendet wird.

• Schlüsselgenerierung:
  1. Wählen Sie zwei unterschiedliche Primzahlen p und q.
  2. Berechnen Sie das Produkt n = p * q, welches als Modulus für die Schlüssel dient.
  3. Ermitteln Sie die totient Funktion ϕ(n) = (p-1)(q-1).
  4. Wählen Sie eine ganze Zahl e, die zu ϕ(n) teilerfremd ist und kleiner als ϕ(n) ist.
  5. Berechnen Sie den privaten Exponenten d, sodass e * d ≡ 1 (mod ϕ(n)).

• Öffentlicher Schlüssel (Public Key): Der öffentliche Schlüssel besteht aus dem Paar (n, e).
• Privater Schlüssel (Private Key): Der private Schlüssel besteht aus dem Paar (n, d).

• Verschlüsselung:
  1. Verschlüsseln Sie die Nachricht m = 123, indem Sie c = m^e mod n berechnen. Verwenden Sie dafür den öffentlichen Schlüssel.

• Entschlüsselung:
  1. Entschlüsseln Sie den Chiffretext c, indem Sie m = c^d mod n berechnen. Verwenden Sie dafür den privaten Schlüssel.

• Verifikation:
  1. Überprüfen Sie, dass der entschlüsselte Text mit der ursprünglichen Nachricht m übereinstimmt.

Verwenden Sie CrypTools um die Schritte zu veranschaulichen: https://www.cryptool.org/en/cto/rsa-step-by-step

Um die Kongruenz a ≡ b (mod m) zu berechnen, folgen Sie diesen Schritten:

• Modulo-Operation durchführen:
  1. Berechnen Sie den Rest der Division von a durch m, bezeichnet als a mod m.
  2. Berechnen Sie den Rest der Division von b durch m, bezeichnet als b mod m.

• Vergleich der Reste:
  1. Wenn die Reste gleich sind, d.h., a mod m ist gleich b mod m, dann gilt die Kongruenz a ≡ b (mod m).

Beispiel: - Um 17 ≡ x (mod 5) zu berechnen, bestimmen Sie den Rest von 17 geteilt durch 5. Da 17 mod 5 = 2, suchen Sie nach einem Wert von x, der ebenfalls einen Rest von 2 ergibt, wenn er durch 5 geteilt wird. Jede Zahl, die um ein Vielfaches von 5 plus 2 ist (z.B. 7, 12, 22, …), würde diese Bedingung erfüllen.

Die Sicherheit des RSA-Algorithmus basiert nicht auf der Schwierigkeit der Kongruenzberechnung, sondern auf dem Problem der Faktorisierung großer Zahlen.

• Faktorisierungsproblem:
  1. Im RSA-Algorithmus wird das Produkt zweier großer Primzahlen p und q verwendet, um n = p × q zu bilden. Der öffentliche Schlüssel enthält n und einen Exponenten e, während der private Schlüssel aus einem anderen Exponenten d besteht.
  2. Der private Schlüssel d wird durch die Berechnung von e^{-1} mod φ(n) ermittelt, wobei φ(n) = (p-1) × (q-1). Um φ(n) zu berechnen, muss man n faktorisieren.
  3. Das Problem der RSA-Sicherheit basiert auf der Schwierigkeit, eine große Zahl n in ihre Primfaktoren p und q zu zerlegen. Für große Zahlen wird dies extrem schwierig und zeitaufwändig, selbst mit leistungsfähigen Computern.

• Kongruenzberechnung im RSA:
  1. Die Kongruenzberechnung kommt ins Spiel, wenn Nachrichten verschlüsselt oder entschlüsselt werden (z.B. c = m^e mod n für die Verschlüsselung und m = c^d mod n für die Entschlüsselung). Diese Operationen sind selbst für sehr große Zahlen effizient durchführbar.

Zusammenfassend beruht die Sicherheit des RSA-Algorithmus auf der Schwierigkeit, große Zahlen zu faktorisieren, nicht auf der Schwierigkeit der Kongruenzberechnung. Die Komplexität und Sicherheit des RSA-Algorithmus erhöht sich mit der Länge der verwendeten Schlüssel.

Lösung

Volkan Demir