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--- modul:mathe:max:thema:linearfaktorzerlegung [2026/06/15 11:53] – angelegt kmaurizi
+++ modul:mathe:max:thema:linearfaktorzerlegung [2026/06/15 11:54] (aktuell) – gelöscht kmaurizi
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-====== Linearfaktorzerlegung ======
-Mit der **Linearfaktorzerlegung** stellst du ein Polynom durch seine **Linearfaktoren** dar. Aus dieser Produktform kannst du die **Nullstellen** direkt ablesen.
-===== Grundidee =====
-Bei der Linearfaktorzerlegung bringst du ein Polynom von der **Normalform**
-\(f(x) = a_{n}x^{n} + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_{0}\)
-in die **Produktform** (Linearfaktordarstellung)
-\(f(x) = a · (x - x_{1})(x - x_{2}) \dots (x - x_{n})\)
-Jede Klammer der Form ( \(x\) - Nullstelle ) ist ein **Linearfaktor**. Die Zahlen \(x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}\) sind die **Nullstellen** des Polynoms, \(a\) ist der **Vorfaktor**.
-**Beispiele**
-  * \(6x^{2} - 12x - 18 = 6 · (x + 1)(x - 3)\)
-  * \(x^{2} + 3x - 4 = (x - 1)(x + 4)\)
-  * \(x^{2} - 2x - 8 = (x + 2)(x - 4)\)
-<WRAP important>
-Hat eine Funktion keine Nullstellen, kann sie nicht weiter in Linearfaktoren zerlegt werden.
-</WRAP>
-===== Vorgehensweise =====
-  - **Vorfaktor ausklammern** (Zahl vor der höchsten Potenz)
-  - **Nullstellen berechnen**
-  - **Linearfaktoren aufstellen** - für jede Nullstelle eine Klammer ( \(x\) - Nullstelle )
-  - **Linearfaktoren in die Produktform bringen** (mit dem Vorfaktor)
-  - **Probe durch Ausmultiplizieren**
-Die Nullstellen berechnest du je nach Aufgabe mit der Mitternachtsformel, der pq-Formel oder der abc-Formel.
-===== Beispiel: Polynom 2. Grades =====
-\(f(x) = x^{2} + 4x + 3\)
-**Schritt 1 - Vorfaktor ausklammern:** Der Vorfaktor von \(x^{2}\) ist 1, du musst nichts ausklammern.
-**Schritt 2 - Nullstellen berechnen:** Setze \(f(x) = 0\) und löse, hier mit der Mitternachtsformel:
-\(x_{1,2} = \frac{-4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 · 1 · 3}}{2 · 1}\)
-Die Nullstellen liegen bei \(x_{1} = -1\) und \(x_{2} = -3\).
-**Schritt 3 - Linearfaktoren aufstellen:**
-\(x_{1} = -1\) → \((x - (-1)) = (x + 1)\)
-\(x_{2} = -3\) → \((x - (-3)) = (x + 3)\)
-**Schritt 4 - Produktform:**
-\(f(x) = (x + 1)(x + 3)\)
-**Schritt 5 - Probe durch Ausmultiplizieren:**
-\(f(x) = (x + 1)(x + 3) = x^{2} + 3x + x + 3 = x^{2} + 4x + 3\)  ✓
-===== Beispiel: mit Vorfaktor =====
-\(f(x) = 2x^{2} + 3x + 1\)
-**Schritt 1 - Vorfaktor ausklammern:** Den Vorfaktor 2 klammerst du aus und merkst ihn dir für später:
-\(f(x) = 2 · (x^{2} + \frac{3}{2}x + \frac{1}{2})\)
-**Schritt 2 - Nullstellen berechnen:** Mitternachtsformel auf den Term in der Klammer anwenden:
-\(x_{1,2} = \frac{-\frac{3}{2} \pm \sqrt{(\frac{3}{2})^{2} - 4 · 1 · \frac{1}{2}}}{2 · 1}\)
-\(x_{1} = -0{,}5\) und \(x_{2} = -1\)
-**Schritt 3 - Linearfaktoren aufstellen:**
-\(x_{1} = -0{,}5\) → \((x + 0{,}5)\)
-\(x_{2} = -1\) → \((x + 1)\)
-**Schritt 4 - Produktform** (mit dem Vorfaktor 2):
-\(f(x) = 2 · (x + 0{,}5)(x + 1)\)
-**Schritt 5 - Probe durch Ausmultiplizieren:**
-\(2(x + 0{,}5)(x + 1) = (2x + 1)(x + 1) = 2x^{2} + 2x + x + 1 = 2x^{2} + 3x + 1\)  ✓
-===== Polynome höheren Grades =====
-Bei Funktionen mit Grad höher als 2 findest du die Nullstellen mit anderen Methoden:
-  * Durch **Ausklammern** von \(x\) kannst du oft den Grad des Restpolynoms verringern.
-  * Durch **Raten / Ausprobieren** findest du häufig eine erste Nullstelle. Bei ganzzahligen Koeffizienten sind die Teiler des konstanten Glieds gute Kandidaten.
-==== Beispiel: Linearfaktorzerlegung mit Ausklammern ====
-Enthält jeder Summand die Variable \(x\), kannst du \(x\) ausklammern und erhältst wieder eine quadratische Funktion.
-\(f(x) = x^{3} - 6x^{2} + 5x\)
-\(f(x) = x · (x^{2} - 6x + 5) = 0\)
-**Schritt 1 - Vorfaktor ausklammern:** Der Vorfaktor von \(x^{3}\) ist 1.
-**Schritt 2 - Nullstellen berechnen:** Da das Produkt 0 sein soll, setzt du die Faktoren einzeln gleich 0:
-\(x_{1} = 0\)
-\(x^{2} - 6x + 5 = 0\)  →  \(x_{2,3} = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^{2} - 4 · 1 · 5}}{2 · 1}\)  →  \(x_{2} = 5\) und \(x_{3} = 1\)
-**Schritt 3 - Linearfaktoren aufstellen:**
-\(x_{1} = 0\) → \((x - 0) = x\)
-\(x_{2} = 5\) → \((x - 5)\)
-\(x_{3} = 1\) → \((x - 1)\)
-**Schritt 4 - Produktform:**
-\(f(x) = x(x - 5)(x - 1)\)
-**Schritt 5 - Probe durch Ausmultiplizieren:**
-\(f(x) = (x^{2} - 5x)(x - 1) = x^{3} - x^{2} - 5x^{2} + 5x = x^{3} - 6x^{2} + 5x\)  ✓
-===== Anwendung: Brüche kürzen =====
-Die Linearfaktorzerlegung hilft beim Kürzen von Brüchen aus Polynomen (gebrochenrationale Terme). Du zerlegst Zähler und Nenner jeweils in Linearfaktoren und kürzt gleiche Faktoren.
-\(g(x) = \frac{3x^{2} + 10x + 8}{2x^{2} - 4x - 16}\)
-Mit der Mitternachtsformel erhältst du im Zähler die Nullstellen \(-2\) und \(-\frac{4}{3}\), im Nenner \(4\) und \(-2\):
-\(g(x) = \frac{3(x + 2)(x + \frac{4}{3})}{2(x - 4)(x + 2)}\)
-Da der Faktor \((x + 2)\) im Zähler und im Nenner steht, kannst du ihn kürzen:
-\(g(x) = \frac{3(x + \frac{4}{3})}{2(x - 4)}\)
-===== Merke =====
-<WRAP important>
-  * Aus einer Nullstelle \(x_{0} = -3\) wird der Linearfaktor \((x - (-3)) = (x + 3)\) - **nicht** \((x - 3)\).
-  * Den **Vorfaktor** der Normalform darfst du in der Produktform nicht vergessen.
-  * **Kontrolle** immer durch Ausmultiplizieren: Es muss das ursprüngliche Polynom entstehen.
-</WRAP>
-Quelle und weitere Beispiele: [[https://studyflix.de/mathematik/linearfaktorzerlegung-2438|Studyflix - Linearfaktorzerlegung]]