LU01c - Stellenwertsysteme
Stellenwertsysteme
Alle Stellenwertsystem basieren auf den gleichen Regeln. Das Wichtigste ist dabei die Basis:
- Die Basis legt fest, wie viele Ziffern-Symbole das System kennt.
- Welcher Faktor für den Wert der Stellen angewandt wird.
Um die Systeme zu unterscheiden, schreiben Sie immer die Basis tiefgestellt neben die Zahl.
- Binäre Zahlen können auch durch ein
bnach der Zahl identifiziert werden. - Hexadezimale Zahlen werden häufig durch ein
xnach der Zahl identifiziert.
Eine Zahl ohne Angabe des Systems ist als Dezimalzahl zu interpretieren. Also
- 1A716 oder 1A7x
- 101010112 oder 10101011b
- 4358
Dezimalsystem
Wir betrachten zunächst das Ihnen vertraute Dezimalsystem im Detail. Daraus können wir Schlüsse für andere, in der Informatik relevante Systeme ziehen.
Das Dezimalsystem (10er System),
- kennt 10 verschiedene Zahl-Symbole,
- In Europa verwenden wir Symbole die aus Indien über den arabischen Raum kamen: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Sie werden deshalb als arabische Ziffern bezeichnet. - Je nach Gebiet werden andere Symbole verwendet.
- hat die Basis 10 für die Stellen einer Zahl.
- Die Stelle direkt vor dem Dezimalpunkt hat den Wert 100 bzw. 1.
- Nach links hat jede Stelle den zehnfachen Wert der davorliegenden Stelle.
- Nach rechts hat jede Stelle einen Zehntel des Werts der davorliegenden Stelle.
| Ziffer | 7 | 3 | 4 | . | 2 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Wert | 102 | 101 | 100 | 10-1 | 10-2 | |
| 100 | 10 | 1 | 0.1 | 0.01 |
- Jede Ziffer wird mit dem Wert seiner Position multipliziert.
- Alle Produkte (Ziffer * Wert) werden addiert.
734.25 = 7*100 + 3*10 + 4*1 + 2*0.1 + 5*0.01
Binärsystem
Das Binärsystem oder Dualsystem verwendet die Basis 2. Daraus ergibt sich:
- Es gibt 2 unterschiedliche Symbole für die Ziffern (z.B. 0 und 1)
- Der Wert der Positionen verdoppelt sich von rechts nach links, bzw. halbiert sich von links nach rechts.
| Ziffer | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | . | 1 | 0 | 1 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Wert | 24 | 23 | 22 | 21 | 20 | 2-1 | 2-2 | 2-3 | |
| 16 | 8 | 4 | 2 | 1 | 1/2 | 1/4 | 1/8 |
11010.1012 = 1*16 + 1*8 + 0*4 + 1*2 + 0*1 + 1*(1/2) + 0*(1/4) + 1*(1/8)
Oktal
Das Oktalsystem verwendet die Basis 8.
- 8 unterschiedliche Symbole für die Ziffern (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7)
- Der Wert der Positionen erhöht sich um den Faktor 8 (bzw. wird um den Faktor 8 verkleinert).
| Ziffer | 4 | 0 | 6 | . | 4 | 1 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Wert | 82 | 81 | 80 | 8-1 | 8-2 | |
| 64 | 8 | 1 | 1/8 | 1/64 |
406.418 = 4*64 + 0*8 + 6*1 + 4*(1/8) + 1*(1/64)
Im Oktalsystem werden jeweils 3 binäre Stellen (Bits) zusammengefasst. Dadurch lassen sich die Zahlen kompakter schreiben. Gleichzeitig ist die Umrechnung zwischen Binärsystem und Oktalsystem relativ einfach.
Hexadezimal
Das Hexadezimal-System verwendet die Basis 16.
- 16 unterschiedliche Symbole für die Ziffern (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F)
- Der Wert der Positionen erhöht sich um den Faktor 16 (bzw. wird um den Faktor 16 verkleinert).
| Ziffer | 3 | A | 2 | . | 0 | C |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Wert | 162 | 161 | 160 | 16-1 | 16-2 | |
| 256 | 16 | 1 | 1/16 | 1/256 |
3A2.0C16 = 3*256 + 10*16 + 2*1 + 0*(1/16) + 12*(1/256)
Das Hexadezimalsystem (kurz Hex) fasst jeweils 4 binäre Stellen (Bits) zusammen. Damit können Sie ein Byte (8 Bits) mit zwei hexadezimalen Ziffern abbilden.
Zum Schmunzeln: Echte Programmierer haben Mühe zwischen Halloween (31. Oktober) und Weihnachten (25. Dezember) zu unterscheiden. Denn 31 Okt = 25Dez.