LU01b - Zahlensysteme: Einführung [BZZ

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====== LU01b - Zahlensysteme: Einführung ======

Ein Zahlensystem bestimmt die Symbole (0, 1, 2, ...) zur Notation von Zahlen und deren Bedeutung.
Die heute verwendeten Zahlensysteme sind sogenannte Stellenwertsysteme.
Das bedeutet: Der Wert eines Symbols ist abhängig davon, an welcher Stelle das Symbol steht.

Hat man ein Stellenwertsystem verstanden, so können die Regeln auf jedes beliebige andere Stellenwertsystem übertragen.

===== Dezimalsystem (10er-System) =====
Am vertrautesten ist uns das 10er-System, da wir es im Alltag gebrauchen.
Die Regeln für das 10er-System lauten:
  * Es gibt 10 unterschiedliche Symbole für die Ziffern (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9).
  * Der Wert des Symbols wird mit dem Wert der Stelle multipliziert.
    * Die Stelle direkt **links** vom Dezimalpunkt hat den Stellenwert **1**.
    * Nach links wird der Wert jeder Stelle mit 10 multipliziert.
    * Nach rechts wird der Wert jeder Stelle durch 10 dividiert.

=== Beispiel ===
5'732.6<sub>10</sub> = 5*1'000 + 7*100 + 3*10 + 2*1 + 6*0.1

===== Binärsystem (2er-System) =====
Das Binärsystem dient zur Speicherung und Verarbeitung von Informationen.

Die Regeln für das 2er-System lauten:
  * Es gibt 2 unterschiedliche Symbole für die Ziffern (0, 1).
  * Der Wert des Symbols wird mit dem Wert der Stelle multipliziert.
    * Die Stelle direkt **links** vom Dezimalpunkt hat den Stellenwert **1**.
    * Nach links wird der Wert jeder Stelle mit 2 multipliziert.
    * Nach rechts wird der Wert jeder Stelle durch 2 dividiert.

=== Beispiel ===
01011100.1001<sub>2</sub>  =  1*64 + 1*16 + 1*8 + 1*4 + 1*1/2 + 1*1/16

===== Hexadezimales System (16er-System) =====
Zur Darstellung von binär codierten Zahlen, werden jeweils 4 binäre Ziffern zu einer hexadezimalen Ziffer zusammen gefasst.
Dadurch können Informationen kompakter dargestellt werden.

Die Regeln für das 16er-System lauten:
  * Es gibt 16 unterschiedliche Symbole für die Ziffern (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F).
    * A entspricht dem Wert 10
    * B entspricht dem Wert 11
    * ...
    * F entspricht dem Wert 15
  * Der Wert des Symbols wird mit dem Wert der Stelle multipliziert.
    * Die Stelle direkt **links** vom Dezimalpunkt hat den Stellenwert **1**.
    * Nach links wird der Wert jeder Stelle mit 16 multipliziert.
    * Nach rechts wird der Wert jeder Stelle durch 16 dividiert.

==== Beispiele ====
=== Hexadezimal in Dezimal umrechnen ===
A3C2<sub>16</sub>  = 10*4096 + 3*256 + 12*16 + 2*1 = 41922<sub>10</sub>

== Binär in Hexadezimal umrechnen ==
<code>

Binär: 0101 1100 1001 0011
Hex:     5    C    9    3
</code>


===== Zahlensysteme umrechnen =====
==== Umwandlung im 2er/8er/16er System ====
Die Zahlensysteme Binär (2er), Oktal (8er) und Hexadezimal (16er) lassen sich recht einfach umwandeln.
Das liegt daran, dass 2, 8 und 16 alles Potenzen der Zahl 2 sind:

  * 2 = 2<sup>1</sup>
  * 8 = 2<sup>3</sup>
  * 16 = 2<sup>4</sup>

Wollen wir eine Zahl vom Binär- ins Oktal-System umwandeln, so nehmen wir von rechts nach links jeweils 3 binäre Stellen und wandeln diese in 1 oktale Stelle um:
<code>
01 101 011 = 153
</code>

Vom Hexadezimalsystem ins Binärsystem wandeln wir 1 hexadezimale Stelle in 4 binäre Stellen um:

<code>
A31C = 1010 0011 0001 1100
</code>

==== Umrechnen von/nach Dezimalsystem ====
Das Dezimalsystem basiert nicht auf einer Potenz der Zahl 2.
Daher müssen wir die Zahlen umrechnen und können nicht einfach Stellen ersetzen.

=== Dezimalzahl umrechnen ===
Bei der Umrechnung einer Dezimalzahl divideren wir die Zahl immer wieder durch die neue Basis, z.B. 16.
Bei jeder Division notieren wir den ganzzahligen Rest.

253<sub>10</sub> = FD<sub>16</sub>
<code>
253 / 16 = 15  Rest 13   => Notiere D
 15 / 16 =  0  Rest 15   => Notiere F
</code>

253<sub>10</sub> = 375<sub>8</sub>
<code>
253 / 8 = 31  Rest 5
 31 / 8 =  3  Rest 7
  3 / 8 =  0  Rest 3
</code>

=== Umrechnung ins Dezimalsystem ===
== System Multiplikation ==

Bei der Umrechnung in eine Dezimalzahl wenden wir wiederholt eine Multiplikation und Addition an.
Dabei gehen wir von links nach rechts vor:

375<sub>8</sub> = 253<sub>10</sub>
<code>
 0 * 8 + 3 = 3
 3 * 8 + 7 = 31
31 * 8 + 5 = 253
</code>

== System Stellenwertsystem ==
Jede Zahl im Zehnersystem<sub>10</sub> hat einen bestimmten Stellenwert. 

Schauen wir uns dazu die Zahl 732<sub>10</sub> an. 
<code>
732 ist die Summe aus:

7*10^2  = 7 * 100 = 700 +
3*10^1  = 3 * 10  =  30 +
2*10^0  = 2 * 1   =   2 +
                    732
</code>

Schauen wir uns dazu die Zahl A4B<sub>16</sub> an. 
<code>
A4B ist die Summe aus:

A*16^2  = 10 * 256 = 2560 +
4*16^1  = 4  * 16  =   64 +
B*16^0  = 11 * 1   =   11 +
                     2635
</code>

<WRAP center round tip 60%>
Genaueres erfahren Sie auf den nächsten Theorieseiten!
</WRAP>



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[[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/|{{https://i.creativecommons.org/l/by-nc-sa/4.0/88x31.png}}]] Marcel Suter