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LU01b - Stichprobe, Rangliste, Häufigkeitstabelle und Darstellung
Ziel: Du kannst Rohdaten (Urliste) ordnen und verdichten (geordnete Stichprobe, Strichliste, Häufigkeitstabelle). Du kannst eine Rangliste erstellen (inkl. Durchschnittsrang bei Mehrfachwerten) und den Modus bestimmen. Du kannst Daten mit Säulen- und Kreisdiagramm darstellen.
1) Begriffe: Urliste, Stichprobe, Verdichtung
Urliste (Rohdaten)
Eine Urliste enthält die erhobenen Werte in der Reihenfolge, in der sie gemessen/abgefragt wurden. Sie ist oft unübersichtlich – deshalb „verdichten“ wir die Daten.
Beispiel (Informatik): „Welchen Browser nutzt du am meisten?“ Urliste (24 Lernende): Chrome, Edge, Chrome, Firefox, Chrome, Safari, Chrome, Edge, Chrome, Firefox, Chrome, Edge, Chrome, Chrome, Firefox, Edge, Chrome, Safari, Edge, Chrome, Firefox, Edge, Chrome, Chrome
Fazit: So kann man schlecht erkennen, was häufig ist → wir ordnen/verdichten.
Stichprobe und Stichprobenumfang n
- Stichprobe: die Menge der erhobenen Daten (z.B. „unsere Klasse heute“)
- Stichprobenumfang n: Anzahl Datenpunkte (z.B. 24 Antworten)
2) Datenarten (für Aufgabe 16.1)
In den Aufgaben wird oft so unterschieden:
- nominal: Kategorien ohne Reihenfolge (z.B. Nationalität, Zivilstand, Lieblingsgetränk)
- ordinal: Kategorien mit Reihenfolge (z.B. Energieklassen, Bewertungen „genügend–gut–sehr gut“)
- kardinal: Zahlenwerte (du kannst zählen/messen) → entspricht quantitativ
(dazu gehören z.B. Alter, Lohn, Länge, Gewicht, Besucherzahlen)
Achtung: Zahlen können auch Codes sein (z.B. HTTP-Statuscode 404). Dann ist es meist nominal, weil es ein Label ist.
3) Geordnete Stichprobe (sortieren)
Bei numerischen Daten sortierst du die Werte vom kleinsten zum grössten Wert. Dann schreibst du sie oft als: x(1), x(2), x(3), …, x(n)
Beispiel (Informatik): Antwortzeiten in ms (Urliste) 120 / 95 / 95 / 140 / 110 / 120
Geordnete Stichprobe: x(1)=95, x(2)=95, x(3)=110, x(4)=120, x(5)=120, x(6)=140
4) Rangliste (Rangwertfolge)
Eine Rangliste ordnet jedem Stichprobenwert seinen Rang zu (Position in der sortierten Liste).
Fall A: jeder Wert kommt nur einmal vor
Dann ist der Rang eindeutig:
- x(1) hat Rang 1
- x(2) hat Rang 2
- …
- x(n) hat Rang n
Fall B: Werte kommen mehrfach vor (Tie)
Dann bekommen alle gleichen Werte den Durchschnittsrang.
Regel (Durchschnittsrang): Wenn ein Wert in der sortierten Liste die Ränge von k bis l belegen würde, dann erhält jeder dieser gleichen Werte den Rang:
- (k + l) / 2
Beispiel (Antwortzeiten): Geordnet: 95, 95, 110, 120, 120, 140
| Wert x(i) | „eigentliche“ Ränge | zugeteilter Rang |
|---|---|---|
| 95 | 1 und 2 | (1+2)/2 = 1.5 |
| 110 | 3 | 3 |
| 120 | 4 und 5 | (4+5)/2 = 4.5 |
| 140 | 6 | 6 |
5) Strichliste (Zählen)
Eine Strichliste zählt, wie oft jede Ausprägung vorkommt (besonders nützlich bei Kategorien).
Beispiel (Browser):
- Chrome: |||||||||||| (12)
- Edge: |||||| (6)
- Firefox:|||| (4)
- Safari: || (2)
6) Häufigkeitstabelle
Die Häufigkeitstabelle zeigt:
- n_i = absolute Häufigkeit (wie oft kommt Kategorie/Wert i vor?)
- h_i = relative Häufigkeit (Anteil an n)
Formeln:
- h_i = n_i / n
- Prozent = h_i * 100
Aufbau (typisch)
| i | x_i (Ausprägung/Wert) | n_i (absolut) | h_i (relativ) | Prozent |
|---|---|---|---|---|
| 1 | … | … | … | … |
Kontrolle:
- Summe aller n_i = n
- Summe aller h_i = 1 (oder 100%)
Beispiel (Browser, n=24)
| i | x_i | n_i | h_i | Prozent |
|---|---|---|---|---|
| 1 | Chrome | 12 | 12/24 = 0.50 | 50% |
| 2 | Edge | 6 | 6/24 = 0.25 | 25% |
| 3 | Firefox | 4 | 4/24 = 0.1666… | 16.67% |
| 4 | Safari | 2 | 2/24 = 0.0833… | 8.33% |
| Summe | 24 | 1.00 | 100% |
7) Modus
Der Modus ist die Ausprägung, die am häufigsten vorkommt.
Beispiel (Browser): Chrome hat n_i = 12 → Modus = Chrome
Hinweis:
- Es kann auch mehrere Modi geben (wenn mehrere Kategorien gleich oft am häufigsten sind).
8) Grafische Darstellung
Kategorielle Daten kann man häufig mit Säulen- oder Kreisdiagramm darstellen.
8.1 Säulendiagramm (Balken/Säulen)
- Für jede Ausprägung eine Säule
- Alle Säulen gleich breit
- Höhe = absolute oder relative Häufigkeit
Vorteil: Der Modus ist sofort sichtbar (höchste Säule).
8.2 Kreisdiagramm
- Für jede Ausprägung ein Kreissegment
- Segmentgrösse ist proportional zur relativen Häufigkeit
Standard-Vorgehen:
- erstes Segment bei „12 Uhr“
- Segmente im Uhrzeigersinn
Winkelberechnung:
- Winkel_i = h_i * 360°
- oder: Winkel_i = Prozent_i * 3.6°
Beispiel (Browser):
- Chrome: 0.50 * 360° = 180°
- Edge: 0.25 * 360° = 90°
- Firefox:0.1666… * 360° = 60°
- Safari: 0.0833… * 360° = 30°
Fazit: Für Vergleiche ist das Säulendiagramm meistens besser als das Kreisdiagramm, weil man Säulenhöhen schneller vergleichen kann als Flächen.
9) Vorgehen (Rezept) für die Aufgaben
A) Wenn es um Kategorien geht (Dessert, Buchtyp, Sportart …)
1. Urliste lesen/erstellen 2. Strichliste (zählen) 3. Häufigkeitstabelle: n_i, h_i, Prozent 4. Fragen beantworten: „beliebtest/seltenst“, „wie viele“, „wie viel Prozent“ 5. Diagramm (Säulen oder Kreis) 6. Modus nennen
B) Wenn es um Zahlenwerte geht (Messwerte)
1. Urliste → geordnete Stichprobe x(1)…x(n) 2. Rangliste erstellen 3. Bei Mehrfachwerten: Durchschnittsrang angeben
10) Mini-Check
- Was ist der Unterschied zwischen Urliste und geordneter Stichprobe?
- Wie berechnest du h_i aus n_i und n?
- Was ist der Modus?
- Wie berechnest du den Winkel im Kreisdiagramm?
- Wie bestimmst du den Rang bei einem Wert, der mehrfach vorkommt?
Kevin Maurizi