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--- modul:mathe:ma4:thema:wahrscheinlichkeit:normalverteilung [2026/04/13 08:36] – angelegt kmaurizi
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-====== LU02a - Normalverteilung ======
+====== LU02a – Normalverteilung ======
-**Ziel:** Du kannst erklären, was eine Normalverteilung ist, die 68-95-99.7-Regel anwenden und Datenwerte mithilfe des **z-Scores standardisieren**.
+**Ziel:** Du kannst erklären, was eine Normalverteilung ist, ihre Eigenschaften benennen und reale Beispiele dafür nennen.
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 ===== Kurztheorie (Merksätze) =====
-  * **Normalverteilung:** Daten häufen sich um einen zentralen Wert und nehmen nach beiden Seiten gleichmässig ab → Glockenform.
+  * Viele reale Datensätze häufen sich um einen **zentralen Wert** – die Normalverteilung beschreibt genau diese Form.
-  * **Mittelwert = Median = Modus** (alle drei fallen zusammen).
+  * Die Kurve sieht aus wie eine **Glocke** → wird auch „Glockenkurve" genannt.
-  * **68 %** aller Werte liegen innerhalb von **1 Standardabweichung** vom Mittelwert.
+  * **Mittelwert = Median = Modus** – alle drei Lagemasse fallen auf denselben Punkt.
-  * **95 %** aller Werte liegen innerhalb von **2 Standardabweichungen** vom Mittelwert.
+  * Die Kurve ist **symmetrisch**: 50 % der Werte liegen links, 50 % rechts vom Mittelwert.
-  * **99.7 %** aller Werte liegen innerhalb von **3 Standardabweichungen** vom Mittelwert.
+  * Reale Daten sind selten //perfekt// normalverteilt – die Normalverteilung ist ein nützliches **Modell**.
-  * Der **z-Score** gibt an, wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert entfernt ist.
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-===== 1) Was ist eine Normalverteilung? =====
+===== 1) Wie können Daten verteilt sein? =====
-Daten können auf verschiedene Arten verteilt sein – sie können nach links oder rechts verzerrt sein, oder chaotisch durcheinander liegen. In vielen realen Situationen tendieren Messwerte jedoch dazu, sich um einen **zentralen Wert** zu gruppieren, ohne eine Tendenz nach links oder rechts zu zeigen. Diese Form nennt man **Normalverteilung**.
+Daten lassen sich auf ganz verschiedene Arten verteilt sein:
-Sie sieht aus wie eine **Glocke** und wird deshalb oft auch **Glockenkurve** genannt.
+{{:modul:mathe:ma4:thema:wahrscheinlichkeit:normalverteilung_intro.png?800|Vergleich: linksschief, normalverteilt, rechtsschief}}
-==== 1.1 Eigenschaften der Normalverteilung ====
+^ Typ ^ Beschreibung ^ Beispiel ^
+| **Linksschief** | Schweif zeigt nach links, Häufungen rechts | Sterbealter in entwickelten Ländern |
+| **Normalverteilt** | Symmetrische Glocke, Häufung in der Mitte | Körpergrösse, Testergebnisse |
+| **Rechtsschief** | Schweif zeigt nach rechts, Häufungen links | Einkommen, Wartezeiten |
-Eine Normalverteilung hat folgende Eigenschaften:
+In der Praxis begegnet uns die Normalverteilung sehr häufig – entweder weil Daten tatsächlich so verteilt sind, oder weil sie als **Modell** für Berechnungen dient.
-  * **Mittelwert = Median = Modus** – alle drei Lagenmasse fallen auf denselben Punkt.
-  * Die Kurve ist **symmetrisch** um den Mittelpunkt.
-  * **50 %** der Werte liegen unterhalb des Mittelwerts, **50 %** darüber.
-==== 1.2 Beispiele aus der Praxis ====
-Viele reale Phänomene folgen näherungsweise einer Normalverteilung:
-  * Körpergrössen von Menschen
-  * Abmessungen von Industrieprodukten
-  * Messfehler
-  * Blutdruck
-  * Testergebnisse
-> **Wichtig:** Die meisten Daten sind nicht //perfekt// normalverteilt, aber die Normalverteilung hilft uns trotzdem, sie zu verstehen und Aussagen darüber zu machen.
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-===== 2) Standardabweichungen und die 68-95-99.7-Regel =====
+===== 2) Eigenschaften der Normalverteilung =====
-Die **Standardabweichung** \(\sigma\) (Sigma) ist ein Mass dafür, wie stark die Werte um den Mittelwert streuen.
+{{:modul:mathe:ma4:thema:wahrscheinlichkeit:normalverteilung_eigenschaften.png?700|Eigenschaften der Normalverteilung}}
-Bei einer Normalverteilung gilt näherungsweise:
+Die Normalverteilung hat drei wichtige Eigenschaften:
-^ Bereich ^ Anteil der Werte ^
+==== 2.1 Mittelwert = Median = Modus ====
-| Mittelwert ± 1 Standardabweichung | **68 %** |
-| Mittelwert ± 2 Standardabweichungen | **95 %** |
-| Mittelwert ± 3 Standardabweichungen | **99.7 %** |
-Diese Regel ist so wichtig, dass sie einen eigenen Namen hat: die **68-95-99.7-Regel** (oder Empirische Regel).
+Bei einer perfekten Normalverteilung fallen alle drei zentralen Lagemasse zusammen:
-==== Beispiel: Körpergrössen in einer Schulklasse ====
+  * **Mittelwert (μ):** arithmetischer Durchschnitt aller Werte
+  * **Median:** der mittlere Wert (50. Perzentil)
+  * **Modus:** der am häufigsten vorkommende Wert
-In einer Schule sind **95 % der Schülerinnen und Schüler zwischen 1.1 m und 1.7 m gross**.
+Dies passiert genau dann, wenn die Verteilung **perfekt symmetrisch** ist.
-Angenommen, die Daten sind normalverteilt – wie gross sind Mittelwert und Standardabweichung?
+==== 2.2 Symmetrie ====
-**Mittelwert:** Der Mittelwert liegt in der Mitte:
+Die Glockenform ist **links-rechts-symmetrisch** um den Mittelwert μ. Das bedeutet:
-\[ \mu = \frac{1.1 + 1.7}{2} = 1.4 \text{ m} \]
+  * Genau **50 %** der Werte liegen //unterhalb// des Mittelwerts.
+  * Genau **50 %** der Werte liegen //oberhalb// des Mittelwerts.
-**Standardabweichung:** 95 % entsprechen ± 2 Standardabweichungen (also insgesamt 4 Standardabweichungen):
+==== 2.3 Asymptotisch gegen null ====
-\[ \sigma = \frac{1.7 - 1.1}{4} = \frac{0.6}{4} = 0.15 \text{ m} \]
+Die Kurve nähert sich der x-Achse immer mehr an, **erreicht sie aber nie** (asymptotisch). Theoretisch können Werte beliebig weit vom Mittelwert entfernt sein – aber ihre Wahrscheinlichkeit wird extrem klein.
-Ein Wert von 1.7 m liegt also genau **2 Standardabweichungen** über dem Mittelwert von 1.4 m.
-> **Faustregel:**\\
-> Ein Wert innerhalb von 1σ ist **wahrscheinlich** (68 von 100). \\
-> Ein Wert innerhalb von 2σ ist **sehr wahrscheinlich** (95 von 100). \\
-> Ein Wert innerhalb von 3σ ist **fast sicher** (997 von 1000).
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-===== 3) Standardisierung und der z-Score =====
+===== 3) Beispiele aus der Praxis =====
-Die Anzahl Standardabweichungen, die ein Wert vom Mittelwert entfernt ist, heisst **z-Score** (oder Standardwert).
+Viele reale Phänomene folgen näherungsweise einer Normalverteilung:
-\[ z = \frac{x - \mu}{\sigma} \]
+^ Phänomen ^ Mittelwert (typisch) ^ Bemerkung ^
+| Körpergrösse (Frauen CH) | ≈ 165 cm | Grosse wie kleine Frauen seltener |
+| IQ-Werte | 100 | σ = 15 per Definition |
+| Blutdruck (diastolisch) | ≈ 80 mmHg | Natürliche biologische Streuung |
+| Produktionsmasse (Industrie) | Sollmass | Maschinen schwanken leicht |
+| Testergebnisse | Klassenmittel | Bei gut konstruierten Tests |
-Dabei gilt:
+> **Wichtig:** Die meisten realen Daten sind nur **näherungsweise** normalverteilt. Das Modell ist trotzdem sehr nützlich, weil sich damit Wahrscheinlichkeiten berechnen lassen.
-  * \(z\) = z-Score (Standardwert)
-  * \(x\) = der zu standardisierende Wert
-  * \(\mu\) (Mu) = Mittelwert der Verteilung
-  * \(\sigma\) (Sigma) = Standardabweichung
-==== 3.1 Vorgehen: Wert standardisieren ====
-  - Mittelwert subtrahieren: \(x - \mu\)
-  - Durch die Standardabweichung dividieren: \(\div \; \sigma\)
-==== 3.2 Beispiel: Reisezeit ====
-Eine Umfrage über tägliche Reisezeiten (in Minuten) ergab:
-, 33, 65, 28, 34, 55, 25, 44, 50, 36, 26, 37, 43, 62, 35, 38, 45, 32, 28, 34
-**Mittelwert:** \(\mu = 38.8\) Minuten \\
-**Standardabweichung:** \(\sigma = 11.4\) Minuten
-Die ersten drei Werte werden wie folgt standardisiert:
-^ Originalwert \(x\) ^ Berechnung ^ z-Score ^
-| 26 | \(\frac{26 - 38.8}{11.4}\) | **−1.12** |
-| 33 | \(\frac{33 - 38.8}{11.4}\) | **−0.51** |
-| 65 | \(\frac{65 - 38.8}{11.4}\) | **+2.30** |
-Ein z-Score von −1.12 bedeutet: Der Wert 26 liegt **1.12 Standardabweichungen unterhalb** des Mittelwerts.
-==== 3.3 Wozu dient die Standardisierung? ====
-Durch die Standardisierung können wir **beliebige Normalverteilungen** in die **Standardnormalverteilung** umrechnen (Mittelwert = 0, Standardabweichung = 1). Das erlaubt uns:
-  * Werte aus verschiedenen Verteilungen direkt zu **vergleichen**.
-  * Mit einer einzigen **Standardnormaltabelle** Wahrscheinlichkeiten abzulesen, anstatt für jede Verteilung neu zu rechnen.
-==== 3.4 Beispiel: Testergebnisse fair beurteilen ====
-Ein Lehrer bewertet einen Test (maximale Punktzahl: 60):
-, 15, 26, 32, 18, 28, 35, 14, 26, 22, 17
-Die meisten Schülerinnen und Schüler haben weniger als 30 Punkte – der Test war offensichtlich sehr schwer. Der Lehrer entscheidet, die Noten zu standardisieren und nur Personen mit einem z-Score unter −1 als ungenügend zu bewerten.
-  * Mittelwert: \(\mu = 23\)
-  * Standardabweichung: \(\sigma = 6.6\)
-  * z-Scores: −0.45, **−1.21**, 0.45, 1.36, −0.76, 0.76, 1.82, **−1.36**, 0.45, −0.15, −0.91
-Resultat: Nur **2 Schülerinnen/Schüler** fallen unter −1 und gelten als ungenügend – deutlich fairer!
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-===== 4) Verteilung in Prozentzonen =====
-Die Standardnormalverteilung lässt sich in Prozentzonen aufteilen, jeweils in Schritten von 0.5 Standardabweichungen:
+===== Verständnisfragen =====
-^ Zone ^ Anteil in diesem Bereich ^ Kumulierter Anteil (von links) ^
+  - Nenne **drei reale Phänomene**, die näherungsweise normalverteilt sind.
-| unter −3σ | 0.1 % | 0.1 % |
+  - Was passiert mit der Glockenform, wenn der Mittelwert μ grösser wird?
-| −3σ bis −2.5σ | 0.5 % | 0.6 % |
+  - Warum sind Mittelwert, Median und Modus bei einer Normalverteilung gleich?
-| −2σ bis −1.5σ | 6.1 % | ca. 6.7 % |
+  - Ist ein Datensatz mit einer kleinen Erhebung (z.B. 10 Messungen) schon normalverteilt? Begründe.
-| −1σ bis −0.5σ | 15.0 % | ca. 30.9 % |
-| −0.5σ bis 0 | 19.1 % | ca. 50.0 % |
-| 0 bis +0.5σ | 19.1 % | ca. 69.1 % |
-| +0.5σ bis +1σ | 15.0 % | ca. 84.1 % |
-| +1σ bis +1.5σ | 9.2 % | ca. 93.3 % |
-| +2σ bis +2.5σ | 3.8 % | ca. 98.8 % |
-| über +3σ | 0.1 % | 99.9 % |
-==== Beispiel: Wie gut war dein Testergebnis? ====
-Dein Ergebnis liegt **0.5 Standardabweichungen über dem Durchschnitt** (z = +0.5). Wie viele Personen haben schlechter abgeschnitten?
-  * Anteil zwischen 0 und +0.5: **19.1 %**
-  * Anteil unter 0 (linke Hälfte): **50.0 %**
-  * Total: **69.1 %** haben schlechter abgeschnitten als du.
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-===== 5) Praxisbeispiel: Zuckerbeutel abfüllen =====
-Eine Maschine füllt Zuckerbeutel ab. Eine Stichprobe ergibt:
-  * Mittelwert: \(\mu = 1010\) g
-  * Standardabweichung: \(\sigma = 20\) g
-**Problem:** Etwa 31 % der Beutel enthalten weniger als 1000 g – das ist zu viel!
-**Lösung:** Wir wollen, dass 1000 g bei −2.5 Standardabweichungen liegt (nur 0.6 % zu wenig).
-**Option A – Mittelwert erhöhen:**
-\[ \text{Neuer Mittelwert} = 1000 + 2.5 \times 20 = 1000 + 50 = 1050 \text{ g} \]
-**Option B – Streuung verringern:**
-\[ \sigma_{neu} = \frac{10}{2.5} = 4 \text{ g} \]
-Bei einer Standardabweichung von nur 4 g würden weniger als 0.6 % der Beutel das Gewichtslimit unterschreiten.
-> **Fazit:** Mit der Normalverteilung können wir Produktionsprozesse gezielt steuern – entweder durch Anpassen des Mittelwerts oder durch Verringern der Streuung.
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-===== Verständnisfragen =====
-  - Nenne **drei reale Phänomene**, die näherungsweise normalverteilt sind.
-  - Ein Datensatz hat \(\mu = 50\) und \(\sigma = 10\). Welcher Anteil der Werte liegt zwischen 30 und 70?
-  - Berechne den z-Score für einen Wert von \(x = 75\), wenn \(\mu = 60\) und \(\sigma = 8\).
-  - Was bedeutet ein z-Score von **−2.5** anschaulich?
-  - Warum ist die Standardisierung nützlich, wenn man Werte aus verschiedenen Verteilungen vergleichen will?
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