LU02a – Normalverteilung [BZZ

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====== LU02a – Normalverteilung ======

**Ziel:** Du kannst erklären, was eine Normalverteilung ist, ihre Eigenschaften benennen und reale Beispiele dafür nennen.

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===== Kurztheorie (Merksätze) =====

  * Viele reale Datensätze häufen sich um einen **zentralen Wert** – die Normalverteilung beschreibt genau diese Form.
  * Die Kurve sieht aus wie eine **Glocke** → wird auch „Glockenkurve" genannt.
  * **Mittelwert = Median = Modus** – alle drei Lagemasse fallen auf denselben Punkt.
  * Die Kurve ist **symmetrisch**: 50 % der Werte liegen links, 50 % rechts vom Mittelwert.
  * Reale Daten sind selten //perfekt// normalverteilt – die Normalverteilung ist ein nützliches **Modell**.

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===== 1) Wie können Daten verteilt sein? =====

Daten lassen sich auf ganz verschiedene Arten verteilt sein:

{{:modul:mathe:ma4:thema:wahrscheinlichkeit:normalverteilung_intro.png?800|Vergleich: linksschief, normalverteilt, rechtsschief}}

^ Typ ^ Beschreibung ^ Beispiel ^
| **Linksschief** | Schweif zeigt nach links, Häufungen rechts | Sterbealter in entwickelten Ländern |
| **Normalverteilt** | Symmetrische Glocke, Häufung in der Mitte | Körpergrösse, Testergebnisse |
| **Rechtsschief** | Schweif zeigt nach rechts, Häufungen links | Einkommen, Wartezeiten |

In der Praxis begegnet uns die Normalverteilung sehr häufig – entweder weil Daten tatsächlich so verteilt sind, oder weil sie als **Modell** für Berechnungen dient.

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===== 2) Eigenschaften der Normalverteilung =====

{{:modul:mathe:ma4:thema:wahrscheinlichkeit:normalverteilung_eigenschaften.png?700|Eigenschaften der Normalverteilung}}

Die Normalverteilung hat drei wichtige Eigenschaften:

==== 2.1 Mittelwert = Median = Modus ====

Bei einer perfekten Normalverteilung fallen alle drei zentralen Lagemasse zusammen:

  * **Mittelwert (μ):** arithmetischer Durchschnitt aller Werte
  * **Median:** der mittlere Wert (50. Perzentil)
  * **Modus:** der am häufigsten vorkommende Wert

Dies passiert genau dann, wenn die Verteilung **perfekt symmetrisch** ist.

==== 2.2 Symmetrie ====

Die Glockenform ist **links-rechts-symmetrisch** um den Mittelwert μ. Das bedeutet:

  * Genau **50 %** der Werte liegen //unterhalb// des Mittelwerts.
  * Genau **50 %** der Werte liegen //oberhalb// des Mittelwerts.

==== 2.3 Asymptotisch gegen null ====

Die Kurve nähert sich der x-Achse immer mehr an, **erreicht sie aber nie** (asymptotisch). Theoretisch können Werte beliebig weit vom Mittelwert entfernt sein – aber ihre Wahrscheinlichkeit wird extrem klein.

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===== 3) Beispiele aus der Praxis =====

Viele reale Phänomene folgen näherungsweise einer Normalverteilung:

^ Phänomen ^ Mittelwert (typisch) ^ Bemerkung ^
| Körpergrösse (Frauen CH) | ≈ 165 cm | Grosse wie kleine Frauen seltener |
| IQ-Werte | 100 | σ = 15 per Definition |
| Blutdruck (diastolisch) | ≈ 80 mmHg | Natürliche biologische Streuung |
| Produktionsmasse (Industrie) | Sollmass | Maschinen schwanken leicht |
| Testergebnisse | Klassenmittel | Bei gut konstruierten Tests |

> **Wichtig:** Die meisten realen Daten sind nur **näherungsweise** normalverteilt. Das Modell ist trotzdem sehr nützlich, weil sich damit Wahrscheinlichkeiten berechnen lassen.

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===== Verständnisfragen =====

  - Nenne **drei reale Phänomene**, die näherungsweise normalverteilt sind.
  - Was passiert mit der Glockenform, wenn der Mittelwert μ grösser wird?
  - Warum sind Mittelwert, Median und Modus bei einer Normalverteilung gleich?
  - Ist ein Datensatz mit einer kleinen Erhebung (z.B. 10 Messungen) schon normalverteilt? Begründe.



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