modul:mathe:ma4:thema:wahrscheinlichkeit:standardabweichung

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modul:mathe:ma4:thema:wahrscheinlichkeit:standardabweichung [2026/04/13 08:46] – [LU01b – Standardabweichung und die 68–95–99.7-Regel] kmaurizimodul:mathe:ma4:thema:wahrscheinlichkeit:standardabweichung [2026/04/13 09:32] (aktuell) – kmaurizi
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-====== LU01b – Standardabweichung und die 68–95–99.7-Regel ======+====== LU02b – Standardabweichung und die 68–95–99.7-Regel ======
  
 **Ziel:** Du kannst die Standardabweichung als Streuungsmass erklären, die 68–95–99.7-Regel anwenden und Werte mithilfe des **z-Scores standardisieren**. **Ziel:** Du kannst die Standardabweichung als Streuungsmass erklären, die 68–95–99.7-Regel anwenden und Werte mithilfe des **z-Scores standardisieren**.
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   * **95 %** aller Werte liegen innerhalb von **± 2σ** vom Mittelwert.   * **95 %** aller Werte liegen innerhalb von **± 2σ** vom Mittelwert.
   * **99.7 %** aller Werte liegen innerhalb von **± 3σ** vom Mittelwert.   * **99.7 %** aller Werte liegen innerhalb von **± 3σ** vom Mittelwert.
-  * Der **z-Score** gibt an, wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert entfernt ist: \(z = \frac{x - \mu}{\sigma}\) 
  
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 Die **Standardabweichung σ** (Sigma) misst, wie stark die Werte eines Datensatzes um den **Mittelwert μ** herum streuen. Die **Standardabweichung σ** (Sigma) misst, wie stark die Werte eines Datensatzes um den **Mittelwert μ** herum streuen.
  
-{{:standardabweichung_vergleich.png?750|Kleines vs. grosses Sigma im Vergleich}}+{{:modul:mathe:ma4:thema:wahrscheinlichkeit:standardabweichung_vergleich.png?750|Kleines vs. grosses Sigma im Vergleich}}
  
 ^ Sigma ^ Bedeutung ^ Kurvenform ^ ^ Sigma ^ Bedeutung ^ Kurvenform ^
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 Die Formel für die Standardabweichung lautet: Die Formel für die Standardabweichung lautet:
  
-\[ \sigma = \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}(x_i - \mu)^2} \]+{{:modul:mathe:ma4:thema:wahrscheinlichkeit:standardabweichung.png?200|}}
  
 > **Hinweis:** In der Praxis verwenden wir oft einen Taschenrechner oder Software (Excel, Python) für die Berechnung. > **Hinweis:** In der Praxis verwenden wir oft einen Taschenrechner oder Software (Excel, Python) für die Berechnung.
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 Bei einer normalverteilten Datenmenge gilt immer folgende **Faustregel**: Bei einer normalverteilten Datenmenge gilt immer folgende **Faustregel**:
  
-{{:regel_68_95_997.png?900|Die 68-95-99.7-Regel der Normalverteilung}}+{{:modul:mathe:ma4:thema:wahrscheinlichkeit:regel_68_95_997.png?900|Die 68-95-99.7-Regel der Normalverteilung}}
  
 ^ Bereich ^ Anteil der Werte ^ Bedeutung ^ ^ Bereich ^ Anteil der Werte ^ Bedeutung ^
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 **Schritt 1 – Mittelwert berechnen:** **Schritt 1 – Mittelwert berechnen:**
-\[ \mu = \frac{1.1 + 1.7}{2} = 1.4 \text{ m} \]+ 
 +{{:modul:mathe:ma4:thema:wahrscheinlichkeit:mittelwert.png?200|}}
  
 **Schritt 2 – Standardabweichung berechnen:** **Schritt 2 – Standardabweichung berechnen:**
  
 95 % entsprechen ± 2σ → der Gesamtbereich von 1.1 bis 1.7 m umfasst 4σ: 95 % entsprechen ± 2σ → der Gesamtbereich von 1.1 bis 1.7 m umfasst 4σ:
-\[ \sigma = \frac{1.7 - 1.1}{4} = \frac{0.6}{4} = 0.15 \text{ m} \]+ 
 +{{:modul:mathe:ma4:thema:wahrscheinlichkeit:sigma.png?300|}}
  
 **Kontrolle:** **Kontrolle:**
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   * 3σ-Bereich: 0.95 m – 1.85 m → ca. **99.7 %** der Schüler   * 3σ-Bereich: 0.95 m – 1.85 m → ca. **99.7 %** der Schüler
  
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- 
-===== 3) Der z-Score (Standardwert) ===== 
- 
-Der **z-Score** gibt an, wie viele Standardabweichungen ein bestimmter Wert \(x\) vom Mittelwert μ entfernt ist. 
- 
-\[ \boxed{z = \frac{x - \mu}{\sigma}} \] 
- 
-Dabei gilt: 
- 
-^ Symbol ^ Bedeutung ^ 
-| \(z\) | z-Score (Standardwert) | 
-| \(x\) | der zu standardisierende Wert | 
-| \(\mu\) | Mittelwert der Verteilung | 
-| \(\sigma\) | Standardabweichung | 
- 
-==== 3.1 Vorgehen ==== 
- 
-  - Mittelwert subtrahieren: \(x - \mu\) 
-  - Durch Standardabweichung dividieren: \(\div\; \sigma\) 
- 
-> **Ergebnis:** Ein z-Score von **+2** bedeutet: der Wert liegt 2 Standardabweichungen **über** dem Mittelwert. Ein z-Score von **−1** bedeutet: 1 Standardabweichung **unter** dem Mittelwert. 
- 
-==== 3.2 Beispiel: Reisezeiten ==== 
- 
-Eine Umfrage über tägliche Reisezeiten (in Minuten) ergab: 
- 
-  26, 33, 65, 28, 34, 55, 25, 44, 50, 36, 26, 37, 43, 62, 35, 38, 45, 32, 28, 34 
- 
-  * Mittelwert: \(\mu = 38.8\) Minuten 
-  * Standardabweichung: \(\sigma = 11.4\) Minuten 
- 
-Die ersten drei Werte standardisiert: 
- 
-^ Originalwert \(x\) ^ Berechnung ^ z-Score ^ Interpretation ^ 
-| 26 | \(\frac{26 - 38.8}{11.4}\) | **−1.12** | 1.12σ unter dem Mittelwert | 
-| 33 | \(\frac{33 - 38.8}{11.4}\) | **−0.51** | 0.51σ unter dem Mittelwert | 
-| 65 | \(\frac{65 - 38.8}{11.4}\) | **+2.30** | 2.30σ über dem Mittelwert | 
- 
-==== 3.3 Wozu dient der z-Score? ==== 
- 
-  * **Vergleichbarkeit:** Werte aus verschiedenen Verteilungen können direkt verglichen werden. 
-  * **Tabellen:** Mit einer einzigen Standardnormaltabelle lassen sich Wahrscheinlichkeiten für beliebige Normalverteilungen ablesen. 
-  * **Ausreisser erkennen:** Werte mit |z| > 3 gelten als statistisch ungewöhnlich. 
- 
-==== 3.4 Praxisbeispiel: Faire Benotung ==== 
- 
-Ein Lehrer bewertet einen Test (max. 60 Punkte): 
- 
-  20, 15, 26, 32, 18, 28, 35, 14, 26, 22, 17 
- 
-Der Test war zu schwer – die meisten Schüler bestehen nicht. Der Lehrer standardisiert die Noten und erklärt alle z-Scores unter −1 als „ungenügend": 
- 
-  * \(\mu = 23\), \(\sigma = 6.6\) 
-  * z-Scores: −0.45, **−1.21**, 0.45, 1.36, −0.76, 0.76, 1.82, **−1.36**, 0.45, −0.15, −0.91 
- 
-Nur **2 Schüler** (fett) gelten als ungenügend → deutlich fairer! 
- 
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-===== 4) Prozentzonen der Standardnormalverteilung =====+===== 3) Prozentzonen der Standardnormalverteilung =====
  
 Die Standardnormalverteilung (μ = 0, σ = 1) lässt sich in Zonen aufteilen: Die Standardnormalverteilung (μ = 0, σ = 1) lässt sich in Zonen aufteilen:
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-===== 5) Praxisbeispiel: Zuckerbeutel-Produktion =====+===== 4) Praxisbeispiel: Zuckerbeutel-Produktion =====
  
 Eine Abfüllmaschine hat: \(\mu = 1010\) g, \(\sigma = 20\) g. Eine Abfüllmaschine hat: \(\mu = 1010\) g, \(\sigma = 20\) g.
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 **Option A – Mittelwert erhöhen:** **Option A – Mittelwert erhöhen:**
-\[ \mu_{neu} = 1000 + 2.5 \times 20 = 1050 \text{ g} \]+ 
 +{{:modul:mathe:ma4:thema:wahrscheinlichkeit:mittelwert_neu.png?200|}}
  
 **Option B – Streuung verringern:** **Option B – Streuung verringern:**
-\[ \sigma_{neu} = \frac{10}{2.5} = 4 \text{ g} \]+ 
 +{{:modul:mathe:ma4:thema:wahrscheinlichkeit:sigma_neu.png?200|}}
  
 > **Fazit:** Mit der 68–95–99.7-Regel und dem z-Score können Produktionsprozesse **quantitativ gesteuert** werden – entweder durch Anpassen des Mittelwerts oder durch Verringern der Streuung. > **Fazit:** Mit der 68–95–99.7-Regel und dem z-Score können Produktionsprozesse **quantitativ gesteuert** werden – entweder durch Anpassen des Mittelwerts oder durch Verringern der Streuung.
  
-----+ 
 +===== 5) Normalverteilung ohne Histogramm prüfen ===== 
 +  
 +Manchmal liegt kein Histogramm vor – man hat nur die **rohen Datenwerte**. Trotzdem lässt sich mit der empirischen Regel prüfen, ob die Daten näherungsweise normalverteilt (hügelförmig) sind. 
 +  
 +> **Grundidee:** Wenn ein Datensatz wirklich normalverteilt ist, dann müssten ungefähr **68 %**, **95 %** und **99.7 %** der Werte in den entsprechenden σ-Bändern liegen. Wir berechnen das selbst – und vergleichen. 
 +  
 +==== 5.1 Vorgehen (Schritt für Schritt) ==== 
 +  
 +**Schritt 1 – Mittelwert μ und Standardabweichung σ berechnen** 
 +  
 +Aus den Rohdaten: \(\mu = \bar{x}\) und \(\sigma\) wie gewohnt (Taschenrechner oder Excel). 
 +  
 +**Schritt 2 – Die drei Intervallgrenzen bestimmen** 
 +  
 +\[ 
 +[\mu - \sigma \;;\; \mu + \sigma] \qquad 
 +[\mu - 2\sigma \;;\; \mu + 2\sigma] \qquad 
 +[\mu - 3\sigma \;;\; \mu + 3\sigma] 
 +\] 
 +  
 +**Schritt 3 – Werte in jedem Band zählen** 
 +  
 +Wie viele Datenpunkte liegen innerhalb jedes Intervalls? → Anzahl durch Gesamtanzahl \(n\) dividieren → Prozentwert. 
 +  
 +**Schritt 4 – Mit der 68–95–99.7-Regel vergleichen** 
 +  
 +^ Band ^ Gemessener Anteil ^ Erwarteter Anteil ^ Beurteilung ^ 
 +| μ ± 1σ | (selbst berechnet) | **≈ 68 %** | Abweichung < 10 % → OK | 
 +| μ ± 2σ | (selbst berechnet) | **≈ 95 %** | Abweichung < 5 % → OK | 
 +| μ ± 3σ | (selbst berechnet) | **≈ 99.7 %** | Fast alle Werte → OK | 
 +  
 +Wenn alle drei Werte gut übereinstimmen: Daten sind **näherungsweise normalverteilt**. 
 +  
 +> **Wichtig:** Bei kleinen Stichproben (n < 30) sind Abweichungen normal – die Regel funktioniert besser bei grossen Datensätzen. 
 +  
 +==== 5.2 Vollständiges Beispiel: Testergebnisse ==== 
 +  
 +**Gegeben:** Testergebnisse von 30 Schülerinnen und Schülern (Punkte von 100): 
 +  
 +  62, 65, 68, 68, 70, 71, 72, 72, 73, 74, 
 +  74, 75, 75, 76, 76, 77, 77, 78, 78, 79, 
 +  79, 80, 81, 82, 82, 83, 84, 85, 87, 91 
 +  
 +**Schritt 1 – Kennzahlen berechnen:** 
 +  
 +\[ \mu = 76.8 \qquad \sigma = 6.1 \qquad n = 30 \] 
 +  
 +**Schritt 2 – Intervallgrenzen:** 
 +  
 +\[ \mu \pm 1\sigma = [70.7 \;;\; 82.9] \] 
 +\[ \mu \pm 2\sigma = [64.6 \;;\; 89.0] \] 
 +\[ \mu \pm 3\sigma = [58.5 \;;\; 95.1] \] 
 +  
 +**Schritt 3 – Werte zählen:** 
 +  
 +^ Band ^ Intervall ^ Anzahl Werte ^ Anteil ^ 
 +| μ ± 1σ | [70.7 – 82.9] | 21 von 30 | **70 %** | 
 +| μ ± 2σ | [64.6 – 89.0] | 28 von 30 | **93 %** | 
 +| μ ± 3σ | [58.5 – 95.1] | 30 von 30 | **100 %** | 
 +  
 +**Schritt 4 – Vergleich und Urteil:** 
 +  
 +{{:modul:mathe:ma4:thema:wahrscheinlichkeit:empirische_regel_check.png?950|Empirische Überprüfung der Normalverteilung}} 
 + 
 +^ Band ^ Gemessen ^ Erwartet ^ Differenz ^ Urteil ^ 
 +| μ ± 1σ | 70 % | 68 % | +2 % | ✓ passt gut | 
 +| μ ± 2σ | 93 % | 95 % | −2 % | ✓ passt gut | 
 +| μ ± 3σ | 100 % | 99.7 % | +0.3 % | ✓ passt gut | 
 +  
 +**Fazit:** Alle drei Bänder stimmen gut mit den Erwartungswerten überein → Die Testergebnisse sind **näherungsweise normalverteilt**. 
 +  
 +==== 5.3 Gegenbeispiel: Stark schiefe Daten ==== 
 +  
 +**Gegeben:** Jahreseinkommen von 20 Personen (in TCHF): 
 +  
 +  42, 45, 47, 48, 50, 51, 52, 53, 55, 58, 
 +  60, 62, 65, 70, 80, 95, 110, 140, 200, 380 
 +  
 +\[ \mu = 88.2 \qquad \sigma = 82.5 \qquad n = 20 \] 
 +  
 +^ Band ^ Intervall ^ Anteil ^ Erwartet ^ Urteil ^ 
 +| μ ± 1σ | [5.7 – 170.7] | 18 / 20 = **90 %** | 68 % | ✗ zu viele | 
 +| μ ± 2σ | [−76.8 – 253.2] | 19 / 20 = **95 %** | 95 % | ~ passt zufällig | 
 +| μ ± 3σ | [−159.3 – 335.7] | 19 / 20 = **95 %** | 99.7 % | ✗ zu wenige | 
 +  
 +**Fazit:** Das 1σ-Band enthält 90 % statt 68 % → Die Daten sind **rechtsschief verteilt**, nicht normalverteilt. (Typisch für Einkommensdaten.) 
 +  
 +==== 5.4 Zusammenfassung: Schnellcheck ==== 
 +  
 +<code> 
 +1. μ und σ berechnen 
 +2. Grenzen bestimmen:  μ±1σ,  μ±2σ,  μ±3σ 
 +3. Werte in jedem Band zählen → Prozent berechnen 
 +4. Vergleichen: 
 +     ≈ 68 %  im 1σ-Band? 
 +     ≈ 95 %  im 2σ-Band? 
 +     ≈ 99.7% im 3σ-Band? 
 +5. Urteil: Alle drei passen → näherungsweise normalverteilt ✓ 
 +           Starke Abweichungen → eher nicht normalverteilt ✗ 
 +</code> 
 +  
 +> **Einschränkung:** Diese Methode ist ein **pragmatischer Schnellcheck**, kein formaler statistischer Test. Für eine strenge Prüfung gibt es spezielle Tests (z.B. Shapiro-Wilk), die aber ausserhalb des Lernziels dieser Einheit liegen.
  
 ===== Verständnisfragen ===== ===== Verständnisfragen =====
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   - Warum ist die Standardisierung nützlich, wenn man Werte aus **verschiedenen Verteilungen** vergleichen will?   - Warum ist die Standardisierung nützlich, wenn man Werte aus **verschiedenen Verteilungen** vergleichen will?
   - Eine Maschine produziert Teile mit \(\mu = 100\) mm und \(\sigma = 2\) mm. Wie gross ist der Anteil der Teile, die **kürzer als 96 mm** sind?   - Eine Maschine produziert Teile mit \(\mu = 100\) mm und \(\sigma = 2\) mm. Wie gross ist der Anteil der Teile, die **kürzer als 96 mm** sind?
- 
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- 
-**Zurück zu:** [[lu01a_normalverteilung|← LU01a – Normalverteilung]] 
  
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 [[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/|{{ https://i.creativecommons.org/l/by-nc-sa/4.0/88x31.png }}]] Bearbeitet nach [[https://www.mathsisfun.com/data/standard-normal-distribution.html|mathsisfun.com]] [[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/|{{ https://i.creativecommons.org/l/by-nc-sa/4.0/88x31.png }}]] Bearbeitet nach [[https://www.mathsisfun.com/data/standard-normal-distribution.html|mathsisfun.com]]
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  • Zuletzt geändert: 2026/04/13 08:46
  • von kmaurizi