LU02b – Standardabweichung und die 68–95–99.7-Regel

Ziel: Du kannst die Standardabweichung als Streuungsmass erklären, die 68–95–99.7-Regel anwenden und Werte mithilfe des z-Scores standardisieren.

• σ (Sigma) = Standardabweichung → misst, wie stark Werte um den Mittelwert streuen.
• 68 % aller Werte liegen innerhalb von ± 1σ vom Mittelwert.
• 95 % aller Werte liegen innerhalb von ± 2σ vom Mittelwert.
• 99.7 % aller Werte liegen innerhalb von ± 3σ vom Mittelwert.

Die Standardabweichung σ (Sigma) misst, wie stark die Werte eines Datensatzes um den Mittelwert μ herum streuen.

Merksatz: Ein kleines σ bedeutet Präzision (z.B. eine gut kalibrierte Maschine). Ein grosses σ bedeutet grosse Streuung (z.B. unterschiedliche Testergebnisse in einer heterogenen Klasse).

Die Formel für die Standardabweichung lautet:

Hinweis: In der Praxis verwenden wir oft einen Taschenrechner oder Software (Excel, Python) für die Berechnung.

Bei einer normalverteilten Datenmenge gilt immer folgende Faustregel:

Diese Regel wird auch Empirische Regel genannt und ist eines der wichtigsten Werkzeuge der Statistik.

In einer Schule sind 95 % der Schülerinnen und Schüler zwischen 1.1 m und 1.7 m gross.

Angenommen, die Daten sind normalverteilt – gesucht: Mittelwert μ und Standardabweichung σ.

Schritt 1 – Mittelwert berechnen:

Schritt 2 – Standardabweichung berechnen:

95 % entsprechen ± 2σ → der Gesamtbereich von 1.1 bis 1.7 m umfasst 4σ:

Kontrolle:

• 1σ-Bereich: 1.25 m – 1.55 m → ca. 68 % der Schüler
• 2σ-Bereich: 1.10 m – 1.70 m → ca. 95 % der Schüler ✓
• 3σ-Bereich: 0.95 m – 1.85 m → ca. 99.7 % der Schüler

Die Standardnormalverteilung (μ = 0, σ = 1) lässt sich in Zonen aufteilen:

Dein Testergebnis liegt 0.5 Standardabweichungen über dem Durchschnitt (z = +0.5). Wie viele Personen schnitten schlechter ab?

• Anteil unter dem Mittelwert (z < 0): 50 %
• Anteil zwischen 0 und +0.5σ: 19.1 %
• Total: 69.1 % schnitten schlechter ab als du.

Eine Abfüllmaschine hat: \(\mu = 1010\) g, \(\sigma = 20\) g.

Problem: Etwa 31 % der Beutel enthalten weniger als 1000 g!

Ziel: 1000 g soll bei −2.5σ liegen (dann nur noch 0.6 % zu leichte Beutel).

Option A – Mittelwert erhöhen:

Option B – Streuung verringern:

Fazit: Mit der 68–95–99.7-Regel und dem z-Score können Produktionsprozesse quantitativ gesteuert werden – entweder durch Anpassen des Mittelwerts oder durch Verringern der Streuung.

Manchmal liegt kein Histogramm vor – man hat nur die rohen Datenwerte. Trotzdem lässt sich mit der empirischen Regel prüfen, ob die Daten näherungsweise normalverteilt (hügelförmig) sind.

> Grundidee: Wenn ein Datensatz wirklich normalverteilt ist, dann müssten ungefähr 68 %, 95 % und 99.7 % der Werte in den entsprechenden σ-Bändern liegen. Wir berechnen das selbst – und vergleichen.

Schritt 1 – Mittelwert μ und Standardabweichung σ berechnen

Aus den Rohdaten: \(\mu = \bar{x}\) und \(\sigma\) wie gewohnt (Taschenrechner oder Excel).

Schritt 2 – Die drei Intervallgrenzen bestimmen

\[ [\mu - \sigma \;;\; \mu + \sigma] \qquad [\mu - 2\sigma \;;\; \mu + 2\sigma] \qquad [\mu - 3\sigma \;;\; \mu + 3\sigma] \]

Schritt 3 – Werte in jedem Band zählen

Wie viele Datenpunkte liegen innerhalb jedes Intervalls? → Anzahl durch Gesamtanzahl \(n\) dividieren → Prozentwert.

Schritt 4 – Mit der 68–95–99.7-Regel vergleichen

Wenn alle drei Werte gut übereinstimmen: Daten sind näherungsweise normalverteilt.

> Wichtig: Bei kleinen Stichproben (n < 30) sind Abweichungen normal – die Regel funktioniert besser bei grossen Datensätzen.

Gegeben: Testergebnisse von 30 Schülerinnen und Schülern (Punkte von 100):

62, 65, 68, 68, 70, 71, 72, 72, 73, 74,

74, 75, 75, 76, 76, 77, 77, 78, 78, 79,
79, 80, 81, 82, 82, 83, 84, 85, 87, 91

Schritt 1 – Kennzahlen berechnen:

\[ \mu = 76.8 \qquad \sigma = 6.1 \qquad n = 30 \]

Schritt 2 – Intervallgrenzen:

\[ \mu \pm 1\sigma = [70.7 \;;\; 82.9] \] \[ \mu \pm 2\sigma = [64.6 \;;\; 89.0] \] \[ \mu \pm 3\sigma = [58.5 \;;\; 95.1] \]

Schritt 3 – Werte zählen:

Schritt 4 – Vergleich und Urteil:

Fazit: Alle drei Bänder stimmen gut mit den Erwartungswerten überein → Die Testergebnisse sind näherungsweise normalverteilt.

Gegeben: Jahreseinkommen von 20 Personen (in TCHF):

42, 45, 47, 48, 50, 51, 52, 53, 55, 58,

60, 62, 65, 70, 80, 95, 110, 140, 200, 380

\[ \mu = 88.2 \qquad \sigma = 82.5 \qquad n = 20 \]

Fazit: Das 1σ-Band enthält 90 % statt 68 % → Die Daten sind rechtsschief verteilt, nicht normalverteilt. (Typisch für Einkommensdaten.)

1. μ und σ berechnen
2. Grenzen bestimmen:  μ±1σ,  μ±2σ,  μ±3σ
3. Werte in jedem Band zählen → Prozent berechnen
4. Vergleichen:
     ≈ 68 %  im 1σ-Band?
     ≈ 95 %  im 2σ-Band?
     ≈ 99.7% im 3σ-Band?
5. Urteil: Alle drei passen → näherungsweise normalverteilt ✓
           Starke Abweichungen → eher nicht normalverteilt ✗

> Einschränkung: Diese Methode ist ein pragmatischer Schnellcheck, kein formaler statistischer Test. Für eine strenge Prüfung gibt es spezielle Tests (z.B. Shapiro-Wilk), die aber ausserhalb des Lernziels dieser Einheit liegen.

1. Ein Datensatz hat \(\mu = 50\) und \(\sigma = 10\). Welcher Anteil der Werte liegt zwischen 30 und 70?
2. Berechne den z-Score für \(x = 75\), wenn \(\mu = 60\) und \(\sigma = 8\).
3. Was bedeutet ein z-Score von −2.5 anschaulich?
4. Warum ist die Standardisierung nützlich, wenn man Werte aus verschiedenen Verteilungen vergleichen will?
5. Eine Maschine produziert Teile mit \(\mu = 100\) mm und \(\sigma = 2\) mm. Wie gross ist der Anteil der Teile, die kürzer als 96 mm sind?

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