LU02b – Standardabweichung und die 68–95–99.7-Regel [BZZ

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====== LU02b – Standardabweichung und die 68–95–99.7-Regel ======

**Ziel:** Du kannst die Standardabweichung als Streuungsmass erklären, die 68–95–99.7-Regel anwenden und Werte mithilfe des **z-Scores standardisieren**.

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===== Kurztheorie (Merksätze) =====

  * **σ (Sigma)** = Standardabweichung → misst, wie stark Werte um den Mittelwert streuen.
  * **68 %** aller Werte liegen innerhalb von **± 1σ** vom Mittelwert.
  * **95 %** aller Werte liegen innerhalb von **± 2σ** vom Mittelwert.
  * **99.7 %** aller Werte liegen innerhalb von **± 3σ** vom Mittelwert.

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===== 1) Was ist die Standardabweichung? =====

Die **Standardabweichung σ** (Sigma) misst, wie stark die Werte eines Datensatzes um den **Mittelwert μ** herum streuen.

{{:modul:mathe:ma4:thema:wahrscheinlichkeit:standardabweichung_vergleich.png?750|Kleines vs. grosses Sigma im Vergleich}}

^ Sigma ^ Bedeutung ^ Kurvenform ^
| **Kleines σ** | Werte liegen eng beieinander | Schmale, hohe Glocke |
| **Grosses σ** | Werte sind weit gestreut | Breite, flache Glocke |

> **Merksatz:** Ein kleines σ bedeutet **Präzision** (z.B. eine gut kalibrierte Maschine). Ein grosses σ bedeutet **grosse Streuung** (z.B. unterschiedliche Testergebnisse in einer heterogenen Klasse).

Die Formel für die Standardabweichung lautet:

{{:modul:mathe:ma4:thema:wahrscheinlichkeit:standardabweichung.png?200|}}

> **Hinweis:** In der Praxis verwenden wir oft einen Taschenrechner oder Software (Excel, Python) für die Berechnung.

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===== 2) Die 68–95–99.7-Regel =====

Bei einer normalverteilten Datenmenge gilt immer folgende **Faustregel**:

{{:modul:mathe:ma4:thema:wahrscheinlichkeit:regel_68_95_997.png?900|Die 68-95-99.7-Regel der Normalverteilung}}

^ Bereich ^ Anteil der Werte ^ Bedeutung ^
| μ ± 1σ | **68 %** | Wahrscheinlich – 68 von 100 Werten fallen hier rein |
| μ ± 2σ | **95 %** | Sehr wahrscheinlich – 95 von 100 |
| μ ± 3σ | **99.7 %** | Fast sicher – 997 von 1000 |

Diese Regel wird auch **Empirische Regel** genannt und ist eines der wichtigsten Werkzeuge der Statistik.

==== 2.1 Anwendungsbeispiel: Körpergrössen ====

In einer Schule sind **95 % der Schülerinnen und Schüler zwischen 1.1 m und 1.7 m gross**.

Angenommen, die Daten sind normalverteilt – gesucht: Mittelwert μ und Standardabweichung σ.

**Schritt 1 – Mittelwert berechnen:**

{{:modul:mathe:ma4:thema:wahrscheinlichkeit:mittelwert.png?200|}}

**Schritt 2 – Standardabweichung berechnen:**

95 % entsprechen ± 2σ → der Gesamtbereich von 1.1 bis 1.7 m umfasst 4σ:

{{:modul:mathe:ma4:thema:wahrscheinlichkeit:sigma.png?300|}}

**Kontrolle:**
  * 1σ-Bereich: 1.25 m – 1.55 m → ca. **68 %** der Schüler
  * 2σ-Bereich: 1.10 m – 1.70 m → ca. **95 %** der Schüler ✓
  * 3σ-Bereich: 0.95 m – 1.85 m → ca. **99.7 %** der Schüler


===== 3) Prozentzonen der Standardnormalverteilung =====

Die Standardnormalverteilung (μ = 0, σ = 1) lässt sich in Zonen aufteilen:

^ Zone ^ Anteil in diesem Bereich ^ Kumulierter Anteil (ab −∞) ^
| unter −3σ | 0.1 % | 0.1 % |
| −3σ bis −2σ | 2.1 % | 2.3 % |
| −2σ bis −1σ | 13.6 % | 15.9 % |
| −1σ bis 0 | 34.1 % | 50.0 % |
| 0 bis +1σ | 34.1 % | 84.1 % |
| +1σ bis +2σ | 13.6 % | 97.7 % |
| +2σ bis +3σ | 2.1 % | 99.7 % |
| über +3σ | 0.1 % | 99.9 % |

==== Lesbeispiel ====

Dein Testergebnis liegt **0.5 Standardabweichungen über dem Durchschnitt** (z = +0.5). Wie viele Personen schnitten schlechter ab?

  * Anteil unter dem Mittelwert (z < 0): **50 %**
  * Anteil zwischen 0 und +0.5σ: **19.1 %**
  * Total: **69.1 %** schnitten schlechter ab als du.

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===== 4) Praxisbeispiel: Zuckerbeutel-Produktion =====

Eine Abfüllmaschine hat: \(\mu = 1010\) g, \(\sigma = 20\) g.

**Problem:** Etwa 31 % der Beutel enthalten weniger als 1000 g!

**Ziel:** 1000 g soll bei **−2.5σ** liegen (dann nur noch 0.6 % zu leichte Beutel).

**Option A – Mittelwert erhöhen:**

{{:modul:mathe:ma4:thema:wahrscheinlichkeit:mittelwert_neu.png?200|}}

**Option B – Streuung verringern:**

{{:modul:mathe:ma4:thema:wahrscheinlichkeit:sigma_neu.png?200|}}

> **Fazit:** Mit der 68–95–99.7-Regel und dem z-Score können Produktionsprozesse **quantitativ gesteuert** werden – entweder durch Anpassen des Mittelwerts oder durch Verringern der Streuung.


===== 5) Normalverteilung ohne Histogramm prüfen =====
 
Manchmal liegt kein Histogramm vor – man hat nur die **rohen Datenwerte**. Trotzdem lässt sich mit der empirischen Regel prüfen, ob die Daten näherungsweise normalverteilt (hügelförmig) sind.
 
> **Grundidee:** Wenn ein Datensatz wirklich normalverteilt ist, dann müssten ungefähr **68 %**, **95 %** und **99.7 %** der Werte in den entsprechenden σ-Bändern liegen. Wir berechnen das selbst – und vergleichen.
 
==== 5.1 Vorgehen (Schritt für Schritt) ====
 
**Schritt 1 – Mittelwert μ und Standardabweichung σ berechnen**
 
Aus den Rohdaten: \(\mu = \bar{x}\) und \(\sigma\) wie gewohnt (Taschenrechner oder Excel).
 
**Schritt 2 – Die drei Intervallgrenzen bestimmen**
 
\[
[\mu - \sigma \;;\; \mu + \sigma] \qquad
[\mu - 2\sigma \;;\; \mu + 2\sigma] \qquad
[\mu - 3\sigma \;;\; \mu + 3\sigma]
\]
 
**Schritt 3 – Werte in jedem Band zählen**
 
Wie viele Datenpunkte liegen innerhalb jedes Intervalls? → Anzahl durch Gesamtanzahl \(n\) dividieren → Prozentwert.
 
**Schritt 4 – Mit der 68–95–99.7-Regel vergleichen**
 
^ Band ^ Gemessener Anteil ^ Erwarteter Anteil ^ Beurteilung ^
| μ ± 1σ | (selbst berechnet) | **≈ 68 %** | Abweichung < 10 % → OK |
| μ ± 2σ | (selbst berechnet) | **≈ 95 %** | Abweichung < 5 % → OK |
| μ ± 3σ | (selbst berechnet) | **≈ 99.7 %** | Fast alle Werte → OK |
 
Wenn alle drei Werte gut übereinstimmen: Daten sind **näherungsweise normalverteilt**.
 
> **Wichtig:** Bei kleinen Stichproben (n < 30) sind Abweichungen normal – die Regel funktioniert besser bei grossen Datensätzen.
 
==== 5.2 Vollständiges Beispiel: Testergebnisse ====
 
**Gegeben:** Testergebnisse von 30 Schülerinnen und Schülern (Punkte von 100):
 
  62, 65, 68, 68, 70, 71, 72, 72, 73, 74,
  74, 75, 75, 76, 76, 77, 77, 78, 78, 79,
  79, 80, 81, 82, 82, 83, 84, 85, 87, 91
 
**Schritt 1 – Kennzahlen berechnen:**
 
\[ \mu = 76.8 \qquad \sigma = 6.1 \qquad n = 30 \]
 
**Schritt 2 – Intervallgrenzen:**
 
\[ \mu \pm 1\sigma = [70.7 \;;\; 82.9] \]
\[ \mu \pm 2\sigma = [64.6 \;;\; 89.0] \]
\[ \mu \pm 3\sigma = [58.5 \;;\; 95.1] \]
 
**Schritt 3 – Werte zählen:**
 
^ Band ^ Intervall ^ Anzahl Werte ^ Anteil ^
| μ ± 1σ | [70.7 – 82.9] | 21 von 30 | **70 %** |
| μ ± 2σ | [64.6 – 89.0] | 28 von 30 | **93 %** |
| μ ± 3σ | [58.5 – 95.1] | 30 von 30 | **100 %** |
 
**Schritt 4 – Vergleich und Urteil:**
 
{{:modul:mathe:ma4:thema:wahrscheinlichkeit:empirische_regel_check.png?950|Empirische Überprüfung der Normalverteilung}}

^ Band ^ Gemessen ^ Erwartet ^ Differenz ^ Urteil ^
| μ ± 1σ | 70 % | 68 % | +2 % | ✓ passt gut |
| μ ± 2σ | 93 % | 95 % | −2 % | ✓ passt gut |
| μ ± 3σ | 100 % | 99.7 % | +0.3 % | ✓ passt gut |
 
**Fazit:** Alle drei Bänder stimmen gut mit den Erwartungswerten überein → Die Testergebnisse sind **näherungsweise normalverteilt**.
 
==== 5.3 Gegenbeispiel: Stark schiefe Daten ====
 
**Gegeben:** Jahreseinkommen von 20 Personen (in TCHF):
 
  42, 45, 47, 48, 50, 51, 52, 53, 55, 58,
  60, 62, 65, 70, 80, 95, 110, 140, 200, 380
 
\[ \mu = 88.2 \qquad \sigma = 82.5 \qquad n = 20 \]
 
^ Band ^ Intervall ^ Anteil ^ Erwartet ^ Urteil ^
| μ ± 1σ | [5.7 – 170.7] | 18 / 20 = **90 %** | 68 % | ✗ zu viele |
| μ ± 2σ | [−76.8 – 253.2] | 19 / 20 = **95 %** | 95 % | ~ passt zufällig |
| μ ± 3σ | [−159.3 – 335.7] | 19 / 20 = **95 %** | 99.7 % | ✗ zu wenige |
 
**Fazit:** Das 1σ-Band enthält 90 % statt 68 % → Die Daten sind **rechtsschief verteilt**, nicht normalverteilt. (Typisch für Einkommensdaten.)
 
==== 5.4 Zusammenfassung: Schnellcheck ====
 
<code>
1. μ und σ berechnen
2. Grenzen bestimmen:  μ±1σ,  μ±2σ,  μ±3σ
3. Werte in jedem Band zählen → Prozent berechnen
4. Vergleichen:
     ≈ 68 %  im 1σ-Band?
     ≈ 95 %  im 2σ-Band?
     ≈ 99.7% im 3σ-Band?
5. Urteil: Alle drei passen → näherungsweise normalverteilt ✓
           Starke Abweichungen → eher nicht normalverteilt ✗
</code>
 
> **Einschränkung:** Diese Methode ist ein **pragmatischer Schnellcheck**, kein formaler statistischer Test. Für eine strenge Prüfung gibt es spezielle Tests (z.B. Shapiro-Wilk), die aber ausserhalb des Lernziels dieser Einheit liegen.

===== Verständnisfragen =====

  - Ein Datensatz hat \(\mu = 50\) und \(\sigma = 10\). Welcher Anteil der Werte liegt zwischen **30 und 70**?
  - Berechne den z-Score für \(x = 75\), wenn \(\mu = 60\) und \(\sigma = 8\).
  - Was bedeutet ein z-Score von **−2.5** anschaulich?
  - Warum ist die Standardisierung nützlich, wenn man Werte aus **verschiedenen Verteilungen** vergleichen will?
  - Eine Maschine produziert Teile mit \(\mu = 100\) mm und \(\sigma = 2\) mm. Wie gross ist der Anteil der Teile, die **kürzer als 96 mm** sind?

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