Unterschiede

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--- modul:mathe:ma4:thema:wahrscheinlichkeit:standardabweichung [2026/04/13 09:07] – [2.1 Anwendungsbeispiel: Körpergrössen] kmaurizi
+++ modul:mathe:ma4:thema:wahrscheinlichkeit:standardabweichung [2026/04/13 09:32] (aktuell) – kmaurizi
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 **Option A – Mittelwert erhöhen:**
-\[ \mu_{neu} = 1000 + 2.5 \times 20 = 1050 \text{ g} \]
+{{:modul:mathe:ma4:thema:wahrscheinlichkeit:mittelwert_neu.png?200|}}
 **Option B – Streuung verringern:**
-\[ \sigma_{neu} = \frac{10}{2.5} = 4 \text{ g} \]
+{{:modul:mathe:ma4:thema:wahrscheinlichkeit:sigma_neu.png?200|}}
 > **Fazit:** Mit der 68–95–99.7-Regel und dem z-Score können Produktionsprozesse **quantitativ gesteuert** werden – entweder durch Anpassen des Mittelwerts oder durch Verringern der Streuung.
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+===== 5) Normalverteilung ohne Histogramm prüfen =====
+Manchmal liegt kein Histogramm vor – man hat nur die **rohen Datenwerte**. Trotzdem lässt sich mit der empirischen Regel prüfen, ob die Daten näherungsweise normalverteilt (hügelförmig) sind.
+> **Grundidee:** Wenn ein Datensatz wirklich normalverteilt ist, dann müssten ungefähr **68 %**, **95 %** und **99.7 %** der Werte in den entsprechenden σ-Bändern liegen. Wir berechnen das selbst – und vergleichen.
+==== 5.1 Vorgehen (Schritt für Schritt) ====
+**Schritt 1 – Mittelwert μ und Standardabweichung σ berechnen**
+Aus den Rohdaten: \(\mu = \bar{x}\) und \(\sigma\) wie gewohnt (Taschenrechner oder Excel).
+**Schritt 2 – Die drei Intervallgrenzen bestimmen**
+\[
+[\mu - \sigma \;;\; \mu + \sigma] \qquad
+[\mu - 2\sigma \;;\; \mu + 2\sigma] \qquad
+[\mu - 3\sigma \;;\; \mu + 3\sigma]
+\]
+**Schritt 3 – Werte in jedem Band zählen**
+Wie viele Datenpunkte liegen innerhalb jedes Intervalls? → Anzahl durch Gesamtanzahl \(n\) dividieren → Prozentwert.
+**Schritt 4 – Mit der 68–95–99.7-Regel vergleichen**
+^ Band ^ Gemessener Anteil ^ Erwarteter Anteil ^ Beurteilung ^
+| μ ± 1σ | (selbst berechnet) | **≈ 68 %** | Abweichung < 10 % → OK |
+| μ ± 2σ | (selbst berechnet) | **≈ 95 %** | Abweichung < 5 % → OK |
+| μ ± 3σ | (selbst berechnet) | **≈ 99.7 %** | Fast alle Werte → OK |
+Wenn alle drei Werte gut übereinstimmen: Daten sind **näherungsweise normalverteilt**.
+> **Wichtig:** Bei kleinen Stichproben (n < 30) sind Abweichungen normal – die Regel funktioniert besser bei grossen Datensätzen.
+==== 5.2 Vollständiges Beispiel: Testergebnisse ====
+**Gegeben:** Testergebnisse von 30 Schülerinnen und Schülern (Punkte von 100):
+, 65, 68, 68, 70, 71, 72, 72, 73, 74,
+, 75, 75, 76, 76, 77, 77, 78, 78, 79,
+, 80, 81, 82, 82, 83, 84, 85, 87, 91
+**Schritt 1 – Kennzahlen berechnen:**
+\[ \mu = 76.8 \qquad \sigma = 6.1 \qquad n = 30 \]
+**Schritt 2 – Intervallgrenzen:**
+\[ \mu \pm 1\sigma = [70.7 \;;\; 82.9] \]
+\[ \mu \pm 2\sigma = [64.6 \;;\; 89.0] \]
+\[ \mu \pm 3\sigma = [58.5 \;;\; 95.1] \]
+**Schritt 3 – Werte zählen:**
+^ Band ^ Intervall ^ Anzahl Werte ^ Anteil ^
+| μ ± 1σ | [70.7 – 82.9] | 21 von 30 | **70 %** |
+| μ ± 2σ | [64.6 – 89.0] | 28 von 30 | **93 %** |
+| μ ± 3σ | [58.5 – 95.1] | 30 von 30 | **100 %** |
+**Schritt 4 – Vergleich und Urteil:**
+{{:modul:mathe:ma4:thema:wahrscheinlichkeit:empirische_regel_check.png?950|Empirische Überprüfung der Normalverteilung}}
+^ Band ^ Gemessen ^ Erwartet ^ Differenz ^ Urteil ^
+| μ ± 1σ | 70 % | 68 % | +2 % | ✓ passt gut |
+| μ ± 2σ | 93 % | 95 % | −2 % | ✓ passt gut |
+| μ ± 3σ | 100 % | 99.7 % | +0.3 % | ✓ passt gut |
+**Fazit:** Alle drei Bänder stimmen gut mit den Erwartungswerten überein → Die Testergebnisse sind **näherungsweise normalverteilt**.
+==== 5.3 Gegenbeispiel: Stark schiefe Daten ====
+**Gegeben:** Jahreseinkommen von 20 Personen (in TCHF):
+, 45, 47, 48, 50, 51, 52, 53, 55, 58,
+, 62, 65, 70, 80, 95, 110, 140, 200, 380
+\[ \mu = 88.2 \qquad \sigma = 82.5 \qquad n = 20 \]
+^ Band ^ Intervall ^ Anteil ^ Erwartet ^ Urteil ^
+| μ ± 1σ | [5.7 – 170.7] | 18 / 20 = **90 %** | 68 % | ✗ zu viele |
+| μ ± 2σ | [−76.8 – 253.2] | 19 / 20 = **95 %** | 95 % | ~ passt zufällig |
+| μ ± 3σ | [−159.3 – 335.7] | 19 / 20 = **95 %** | 99.7 % | ✗ zu wenige |
+**Fazit:** Das 1σ-Band enthält 90 % statt 68 % → Die Daten sind **rechtsschief verteilt**, nicht normalverteilt. (Typisch für Einkommensdaten.)
+==== 5.4 Zusammenfassung: Schnellcheck ====
+<code>
+. μ und σ berechnen
+. Grenzen bestimmen:  μ±1σ,  μ±2σ,  μ±3σ
+. Werte in jedem Band zählen → Prozent berechnen
+. Vergleichen:
+     ≈ 68 %  im 1σ-Band?
+     ≈ 95 %  im 2σ-Band?
+     ≈ 99.7% im 3σ-Band?
+. Urteil: Alle drei passen → näherungsweise normalverteilt ✓
+           Starke Abweichungen → eher nicht normalverteilt ✗
+</code>
+> **Einschränkung:** Diese Methode ist ein **pragmatischer Schnellcheck**, kein formaler statistischer Test. Für eine strenge Prüfung gibt es spezielle Tests (z.B. Shapiro-Wilk), die aber ausserhalb des Lernziels dieser Einheit liegen.
 ===== Verständnisfragen =====
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   - Warum ist die Standardisierung nützlich, wenn man Werte aus **verschiedenen Verteilungen** vergleichen will?
   - Eine Maschine produziert Teile mit \(\mu = 100\) mm und \(\sigma = 2\) mm. Wie gross ist der Anteil der Teile, die **kürzer als 96 mm** sind?
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