modul:mathe:ma4:thema:wahrscheinlichkeit:standardabweichung

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modul:mathe:ma4:thema:wahrscheinlichkeit:standardabweichung [2026/04/13 09:07] – [4) Praxisbeispiel: Zuckerbeutel-Produktion] kmaurizimodul:mathe:ma4:thema:wahrscheinlichkeit:standardabweichung [2026/04/13 09:32] (aktuell) – kmaurizi
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 > **Fazit:** Mit der 68–95–99.7-Regel und dem z-Score können Produktionsprozesse **quantitativ gesteuert** werden – entweder durch Anpassen des Mittelwerts oder durch Verringern der Streuung. > **Fazit:** Mit der 68–95–99.7-Regel und dem z-Score können Produktionsprozesse **quantitativ gesteuert** werden – entweder durch Anpassen des Mittelwerts oder durch Verringern der Streuung.
  
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 +===== 5) Normalverteilung ohne Histogramm prüfen ===== 
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 +Manchmal liegt kein Histogramm vor – man hat nur die **rohen Datenwerte**. Trotzdem lässt sich mit der empirischen Regel prüfen, ob die Daten näherungsweise normalverteilt (hügelförmig) sind. 
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 +> **Grundidee:** Wenn ein Datensatz wirklich normalverteilt ist, dann müssten ungefähr **68 %**, **95 %** und **99.7 %** der Werte in den entsprechenden σ-Bändern liegen. Wir berechnen das selbst – und vergleichen. 
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 +==== 5.1 Vorgehen (Schritt für Schritt) ==== 
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 +**Schritt 1 – Mittelwert μ und Standardabweichung σ berechnen** 
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 +Aus den Rohdaten: \(\mu = \bar{x}\) und \(\sigma\) wie gewohnt (Taschenrechner oder Excel). 
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 +**Schritt 2 – Die drei Intervallgrenzen bestimmen** 
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 +\[ 
 +[\mu - \sigma \;;\; \mu + \sigma] \qquad 
 +[\mu - 2\sigma \;;\; \mu + 2\sigma] \qquad 
 +[\mu - 3\sigma \;;\; \mu + 3\sigma] 
 +\] 
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 +**Schritt 3 – Werte in jedem Band zählen** 
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 +Wie viele Datenpunkte liegen innerhalb jedes Intervalls? → Anzahl durch Gesamtanzahl \(n\) dividieren → Prozentwert. 
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 +**Schritt 4 – Mit der 68–95–99.7-Regel vergleichen** 
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 +^ Band ^ Gemessener Anteil ^ Erwarteter Anteil ^ Beurteilung ^ 
 +| μ ± 1σ | (selbst berechnet) | **≈ 68 %** | Abweichung < 10 % → OK | 
 +| μ ± 2σ | (selbst berechnet) | **≈ 95 %** | Abweichung < 5 % → OK | 
 +| μ ± 3σ | (selbst berechnet) | **≈ 99.7 %** | Fast alle Werte → OK | 
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 +Wenn alle drei Werte gut übereinstimmen: Daten sind **näherungsweise normalverteilt**. 
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 +> **Wichtig:** Bei kleinen Stichproben (n < 30) sind Abweichungen normal – die Regel funktioniert besser bei grossen Datensätzen. 
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 +==== 5.2 Vollständiges Beispiel: Testergebnisse ==== 
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 +**Gegeben:** Testergebnisse von 30 Schülerinnen und Schülern (Punkte von 100): 
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 +  62, 65, 68, 68, 70, 71, 72, 72, 73, 74, 
 +  74, 75, 75, 76, 76, 77, 77, 78, 78, 79, 
 +  79, 80, 81, 82, 82, 83, 84, 85, 87, 91 
 +  
 +**Schritt 1 – Kennzahlen berechnen:** 
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 +\[ \mu = 76.8 \qquad \sigma = 6.1 \qquad n = 30 \] 
 +  
 +**Schritt 2 – Intervallgrenzen:** 
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 +\[ \mu \pm 1\sigma = [70.7 \;;\; 82.9] \] 
 +\[ \mu \pm 2\sigma = [64.6 \;;\; 89.0] \] 
 +\[ \mu \pm 3\sigma = [58.5 \;;\; 95.1] \] 
 +  
 +**Schritt 3 – Werte zählen:** 
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 +^ Band ^ Intervall ^ Anzahl Werte ^ Anteil ^ 
 +| μ ± 1σ | [70.7 – 82.9] | 21 von 30 | **70 %** | 
 +| μ ± 2σ | [64.6 – 89.0] | 28 von 30 | **93 %** | 
 +| μ ± 3σ | [58.5 – 95.1] | 30 von 30 | **100 %** | 
 +  
 +**Schritt 4 – Vergleich und Urteil:** 
 +  
 +{{:modul:mathe:ma4:thema:wahrscheinlichkeit:empirische_regel_check.png?950|Empirische Überprüfung der Normalverteilung}} 
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 +^ Band ^ Gemessen ^ Erwartet ^ Differenz ^ Urteil ^ 
 +| μ ± 1σ | 70 % | 68 % | +2 % | ✓ passt gut | 
 +| μ ± 2σ | 93 % | 95 % | −2 % | ✓ passt gut | 
 +| μ ± 3σ | 100 % | 99.7 % | +0.3 % | ✓ passt gut | 
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 +**Fazit:** Alle drei Bänder stimmen gut mit den Erwartungswerten überein → Die Testergebnisse sind **näherungsweise normalverteilt**. 
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 +==== 5.3 Gegenbeispiel: Stark schiefe Daten ==== 
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 +**Gegeben:** Jahreseinkommen von 20 Personen (in TCHF): 
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 +  42, 45, 47, 48, 50, 51, 52, 53, 55, 58, 
 +  60, 62, 65, 70, 80, 95, 110, 140, 200, 380 
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 +\[ \mu = 88.2 \qquad \sigma = 82.5 \qquad n = 20 \] 
 +  
 +^ Band ^ Intervall ^ Anteil ^ Erwartet ^ Urteil ^ 
 +| μ ± 1σ | [5.7 – 170.7] | 18 / 20 = **90 %** | 68 % | ✗ zu viele | 
 +| μ ± 2σ | [−76.8 – 253.2] | 19 / 20 = **95 %** | 95 % | ~ passt zufällig | 
 +| μ ± 3σ | [−159.3 – 335.7] | 19 / 20 = **95 %** | 99.7 % | ✗ zu wenige | 
 +  
 +**Fazit:** Das 1σ-Band enthält 90 % statt 68 % → Die Daten sind **rechtsschief verteilt**, nicht normalverteilt. (Typisch für Einkommensdaten.) 
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 +==== 5.4 Zusammenfassung: Schnellcheck ==== 
 +  
 +<code> 
 +1. μ und σ berechnen 
 +2. Grenzen bestimmen:  μ±1σ,  μ±2σ,  μ±3σ 
 +3. Werte in jedem Band zählen → Prozent berechnen 
 +4. Vergleichen: 
 +     ≈ 68 %  im 1σ-Band? 
 +     ≈ 95 %  im 2σ-Band? 
 +     ≈ 99.7% im 3σ-Band? 
 +5. Urteil: Alle drei passen → näherungsweise normalverteilt ✓ 
 +           Starke Abweichungen → eher nicht normalverteilt ✗ 
 +</code> 
 +  
 +> **Einschränkung:** Diese Methode ist ein **pragmatischer Schnellcheck**, kein formaler statistischer Test. Für eine strenge Prüfung gibt es spezielle Tests (z.B. Shapiro-Wilk), die aber ausserhalb des Lernziels dieser Einheit liegen.
  
 ===== Verständnisfragen ===== ===== Verständnisfragen =====
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   - Warum ist die Standardisierung nützlich, wenn man Werte aus **verschiedenen Verteilungen** vergleichen will?   - Warum ist die Standardisierung nützlich, wenn man Werte aus **verschiedenen Verteilungen** vergleichen will?
   - Eine Maschine produziert Teile mit \(\mu = 100\) mm und \(\sigma = 2\) mm. Wie gross ist der Anteil der Teile, die **kürzer als 96 mm** sind?   - Eine Maschine produziert Teile mit \(\mu = 100\) mm und \(\sigma = 2\) mm. Wie gross ist der Anteil der Teile, die **kürzer als 96 mm** sind?
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  • Zuletzt geändert: 2026/04/13 09:07
  • von kmaurizi