LU02a – Normalverteilung
Ziel: Du kannst erklären, was eine Normalverteilung ist, ihre Eigenschaften benennen und reale Beispiele dafür nennen.
Kurztheorie (Merksätze)
- Viele reale Datensätze häufen sich um einen zentralen Wert – die Normalverteilung beschreibt genau diese Form.
- Die Kurve sieht aus wie eine Glocke → wird auch „Glockenkurve„ genannt.
- Mittelwert = Median = Modus – alle drei Lagemasse fallen auf denselben Punkt.
- Die Kurve ist symmetrisch: 50 % der Werte liegen links, 50 % rechts vom Mittelwert.
- Reale Daten sind selten perfekt normalverteilt – die Normalverteilung ist ein nützliches Modell.
1) Wie können Daten verteilt sein?
Daten lassen sich auf ganz verschiedene Arten verteilt sein:
| Typ | Beschreibung | Beispiel |
|---|---|---|
| Linksschief | Schweif zeigt nach links, Häufungen rechts | Sterbealter in entwickelten Ländern |
| Normalverteilt | Symmetrische Glocke, Häufung in der Mitte | Körpergrösse, Testergebnisse |
| Rechtsschief | Schweif zeigt nach rechts, Häufungen links | Einkommen, Wartezeiten |
In der Praxis begegnet uns die Normalverteilung sehr häufig – entweder weil Daten tatsächlich so verteilt sind, oder weil sie als Modell für Berechnungen dient.
2) Eigenschaften der Normalverteilung
Die Normalverteilung hat drei wichtige Eigenschaften:
2.1 Mittelwert = Median = Modus
Bei einer perfekten Normalverteilung fallen alle drei zentralen Lagemasse zusammen:
- Mittelwert (μ): arithmetischer Durchschnitt aller Werte
- Median: der mittlere Wert (50. Perzentil)
- Modus: der am häufigsten vorkommende Wert
Dies passiert genau dann, wenn die Verteilung perfekt symmetrisch ist.
2.2 Symmetrie
Die Glockenform ist links-rechts-symmetrisch um den Mittelwert μ. Das bedeutet:
- Genau 50 % der Werte liegen unterhalb des Mittelwerts.
- Genau 50 % der Werte liegen oberhalb des Mittelwerts.
2.3 Asymptotisch gegen null
Die Kurve nähert sich der x-Achse immer mehr an, erreicht sie aber nie (asymptotisch). Theoretisch können Werte beliebig weit vom Mittelwert entfernt sein – aber ihre Wahrscheinlichkeit wird extrem klein.
3) Beispiele aus der Praxis
Viele reale Phänomene folgen näherungsweise einer Normalverteilung:
| Phänomen | Mittelwert (typisch) | Bemerkung |
|---|---|---|
| Körpergrösse (Frauen CH) | ≈ 165 cm | Grosse wie kleine Frauen seltener |
| IQ-Werte | 100 | σ = 15 per Definition |
| Blutdruck (diastolisch) | ≈ 80 mmHg | Natürliche biologische Streuung |
| Produktionsmasse (Industrie) | Sollmass | Maschinen schwanken leicht |
| Testergebnisse | Klassenmittel | Bei gut konstruierten Tests |
Wichtig: Die meisten realen Daten sind nur näherungsweise normalverteilt. Das Modell ist trotzdem sehr nützlich, weil sich damit Wahrscheinlichkeiten berechnen lassen.
Verständnisfragen
- Nenne drei reale Phänomene, die näherungsweise normalverteilt sind.
- Was passiert mit der Glockenform, wenn der Mittelwert μ grösser wird?
- Warum sind Mittelwert, Median und Modus bei einer Normalverteilung gleich?
- Ist ein Datensatz mit einer kleinen Erhebung (z.B. 10 Messungen) schon normalverteilt? Begründe.
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