LU01b – Standardabweichung und die 68–95–99.7-Regel

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Ziel: Du kannst die Standardabweichung als Streuungsmass erklären, die 68–95–99.7-Regel anwenden und Werte mithilfe des z-Scores standardisieren.

σ (Sigma) = Standardabweichung → misst, wie stark Werte um den Mittelwert streuen.
68 % aller Werte liegen innerhalb von ± 1σ vom Mittelwert.
95 % aller Werte liegen innerhalb von ± 2σ vom Mittelwert.
99.7 % aller Werte liegen innerhalb von ± 3σ vom Mittelwert.
Der z-Score gibt an, wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert entfernt ist: \(z = \frac{x - \mu}{\sigma}\)

Die Standardabweichung σ (Sigma) misst, wie stark die Werte eines Datensatzes um den Mittelwert μ herum streuen.

Sigma	Bedeutung	Kurvenform
Kleines σ	Werte liegen eng beieinander	Schmale, hohe Glocke
Grosses σ	Werte sind weit gestreut	Breite, flache Glocke

Merksatz: Ein kleines σ bedeutet Präzision (z.B. eine gut kalibrierte Maschine). Ein grosses σ bedeutet grosse Streuung (z.B. unterschiedliche Testergebnisse in einer heterogenen Klasse).

Die Formel für die Standardabweichung lautet:

\[ \sigma = \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}(x_i - \mu)^2} \]

Hinweis: In der Praxis verwenden wir oft einen Taschenrechner oder Software (Excel, Python) für die Berechnung.

Bei einer normalverteilten Datenmenge gilt immer folgende Faustregel:

Bereich	Anteil der Werte	Bedeutung
μ ± 1σ	68 %	Wahrscheinlich – 68 von 100 Werten fallen hier rein
μ ± 2σ	95 %	Sehr wahrscheinlich – 95 von 100
μ ± 3σ	99.7 %	Fast sicher – 997 von 1000

Diese Regel wird auch Empirische Regel genannt und ist eines der wichtigsten Werkzeuge der Statistik.

In einer Schule sind 95 % der Schülerinnen und Schüler zwischen 1.1 m und 1.7 m gross.

Angenommen, die Daten sind normalverteilt – gesucht: Mittelwert μ und Standardabweichung σ.

Schritt 1 – Mittelwert berechnen: \[ \mu = \frac{1.1 + 1.7}{2} = 1.4 \text{ m} \]

Schritt 2 – Standardabweichung berechnen:

95 % entsprechen ± 2σ → der Gesamtbereich von 1.1 bis 1.7 m umfasst 4σ: \[ \sigma = \frac{1.7 - 1.1}{4} = \frac{0.6}{4} = 0.15 \text{ m} \]

Kontrolle:

1σ-Bereich: 1.25 m – 1.55 m → ca. 68 % der Schüler
2σ-Bereich: 1.10 m – 1.70 m → ca. 95 % der Schüler ✓
3σ-Bereich: 0.95 m – 1.85 m → ca. 99.7 % der Schüler

Der z-Score gibt an, wie viele Standardabweichungen ein bestimmter Wert \(x\) vom Mittelwert μ entfernt ist.

\[ \boxed{z = \frac{x - \mu}{\sigma}} \]

Dabei gilt:

Symbol	Bedeutung
\(z\)	z-Score (Standardwert)
\(x\)	der zu standardisierende Wert
\(\mu\)	Mittelwert der Verteilung
\(\sigma\)	Standardabweichung

Mittelwert subtrahieren: \(x - \mu\)
Durch Standardabweichung dividieren: \(\div\; \sigma\)

Ergebnis: Ein z-Score von +2 bedeutet: der Wert liegt 2 Standardabweichungen über dem Mittelwert. Ein z-Score von −1 bedeutet: 1 Standardabweichung unter dem Mittelwert.

Eine Umfrage über tägliche Reisezeiten (in Minuten) ergab:

26, 33, 65, 28, 34, 55, 25, 44, 50, 36, 26, 37, 43, 62, 35, 38, 45, 32, 28, 34

Mittelwert: \(\mu = 38.8\) Minuten
Standardabweichung: \(\sigma = 11.4\) Minuten

Die ersten drei Werte standardisiert:

Originalwert \(x\)	Berechnung	z-Score	Interpretation
26	\(\frac{26 - 38.8}{11.4}\)	−1.12	1.12σ unter dem Mittelwert
33	\(\frac{33 - 38.8}{11.4}\)	−0.51	0.51σ unter dem Mittelwert
65	\(\frac{65 - 38.8}{11.4}\)	+2.30	2.30σ über dem Mittelwert

Vergleichbarkeit: Werte aus verschiedenen Verteilungen können direkt verglichen werden.
Tabellen: Mit einer einzigen Standardnormaltabelle lassen sich Wahrscheinlichkeiten für beliebige Normalverteilungen ablesen.
Ausreisser erkennen: Werte mit |z| > 3 gelten als statistisch ungewöhnlich.

Ein Lehrer bewertet einen Test (max. 60 Punkte):

20, 15, 26, 32, 18, 28, 35, 14, 26, 22, 17

Der Test war zu schwer – die meisten Schüler bestehen nicht. Der Lehrer standardisiert die Noten und erklärt alle z-Scores unter −1 als „ungenügend„:

\(\mu = 23\), \(\sigma = 6.6\)
z-Scores: −0.45, −1.21, 0.45, 1.36, −0.76, 0.76, 1.82, −1.36, 0.45, −0.15, −0.91

Nur 2 Schüler (fett) gelten als ungenügend → deutlich fairer!

Die Standardnormalverteilung (μ = 0, σ = 1) lässt sich in Zonen aufteilen:

Zone	Anteil in diesem Bereich	Kumulierter Anteil (ab −∞)
unter −3σ	0.1 %	0.1 %
−3σ bis −2σ	2.1 %	2.3 %
−2σ bis −1σ	13.6 %	15.9 %
−1σ bis 0	34.1 %	50.0 %
0 bis +1σ	34.1 %	84.1 %
+1σ bis +2σ	13.6 %	97.7 %
+2σ bis +3σ	2.1 %	99.7 %
über +3σ	0.1 %	99.9 %

Dein Testergebnis liegt 0.5 Standardabweichungen über dem Durchschnitt (z = +0.5). Wie viele Personen schnitten schlechter ab?

Anteil unter dem Mittelwert (z < 0): 50 %
Anteil zwischen 0 und +0.5σ: 19.1 %
Total: 69.1 % schnitten schlechter ab als du.

Eine Abfüllmaschine hat: \(\mu = 1010\) g, \(\sigma = 20\) g.

Problem: Etwa 31 % der Beutel enthalten weniger als 1000 g!

Ziel: 1000 g soll bei −2.5σ liegen (dann nur noch 0.6 % zu leichte Beutel).

Option A – Mittelwert erhöhen: \[ \mu_{neu} = 1000 + 2.5 \times 20 = 1050 \text{ g} \]

Option B – Streuung verringern: \[ \sigma_{neu} = \frac{10}{2.5} = 4 \text{ g} \]

Fazit: Mit der 68–95–99.7-Regel und dem z-Score können Produktionsprozesse quantitativ gesteuert werden – entweder durch Anpassen des Mittelwerts oder durch Verringern der Streuung.

Ein Datensatz hat \(\mu = 50\) und \(\sigma = 10\). Welcher Anteil der Werte liegt zwischen 30 und 70?
Berechne den z-Score für \(x = 75\), wenn \(\mu = 60\) und \(\sigma = 8\).
Was bedeutet ein z-Score von −2.5 anschaulich?
Warum ist die Standardisierung nützlich, wenn man Werte aus verschiedenen Verteilungen vergleichen will?
Eine Maschine produziert Teile mit \(\mu = 100\) mm und \(\sigma = 2\) mm. Wie gross ist der Anteil der Teile, die kürzer als 96 mm sind?