Dies ist eine alte Version des Dokuments!
LU02b – Standardabweichung und die 68–95–99.7-Regel
Ziel: Du kannst die Standardabweichung als Streuungsmass erklären, die 68–95–99.7-Regel anwenden und Werte mithilfe des z-Scores standardisieren.
Kurztheorie (Merksätze)
- σ (Sigma) = Standardabweichung → misst, wie stark Werte um den Mittelwert streuen.
- 68 % aller Werte liegen innerhalb von ± 1σ vom Mittelwert.
- 95 % aller Werte liegen innerhalb von ± 2σ vom Mittelwert.
- 99.7 % aller Werte liegen innerhalb von ± 3σ vom Mittelwert.
1) Was ist die Standardabweichung?
Die Standardabweichung σ (Sigma) misst, wie stark die Werte eines Datensatzes um den Mittelwert μ herum streuen.
| Sigma | Bedeutung | Kurvenform |
|---|---|---|
| Kleines σ | Werte liegen eng beieinander | Schmale, hohe Glocke |
| Grosses σ | Werte sind weit gestreut | Breite, flache Glocke |
Merksatz: Ein kleines σ bedeutet Präzision (z.B. eine gut kalibrierte Maschine). Ein grosses σ bedeutet grosse Streuung (z.B. unterschiedliche Testergebnisse in einer heterogenen Klasse).
Die Formel für die Standardabweichung lautet:
Hinweis: In der Praxis verwenden wir oft einen Taschenrechner oder Software (Excel, Python) für die Berechnung.
2) Die 68–95–99.7-Regel
Bei einer normalverteilten Datenmenge gilt immer folgende Faustregel:
| Bereich | Anteil der Werte | Bedeutung |
|---|---|---|
| μ ± 1σ | 68 % | Wahrscheinlich – 68 von 100 Werten fallen hier rein |
| μ ± 2σ | 95 % | Sehr wahrscheinlich – 95 von 100 |
| μ ± 3σ | 99.7 % | Fast sicher – 997 von 1000 |
Diese Regel wird auch Empirische Regel genannt und ist eines der wichtigsten Werkzeuge der Statistik.
2.1 Anwendungsbeispiel: Körpergrössen
In einer Schule sind 95 % der Schülerinnen und Schüler zwischen 1.1 m und 1.7 m gross.
Angenommen, die Daten sind normalverteilt – gesucht: Mittelwert μ und Standardabweichung σ.
Schritt 1 – Mittelwert berechnen:
Schritt 2 – Standardabweichung berechnen:
95 % entsprechen ± 2σ → der Gesamtbereich von 1.1 bis 1.7 m umfasst 4σ:
Kontrolle:
- 1σ-Bereich: 1.25 m – 1.55 m → ca. 68 % der Schüler
- 2σ-Bereich: 1.10 m – 1.70 m → ca. 95 % der Schüler ✓
- 3σ-Bereich: 0.95 m – 1.85 m → ca. 99.7 % der Schüler
3) Prozentzonen der Standardnormalverteilung
Die Standardnormalverteilung (μ = 0, σ = 1) lässt sich in Zonen aufteilen:
| Zone | Anteil in diesem Bereich | Kumulierter Anteil (ab −∞) |
|---|---|---|
| unter −3σ | 0.1 % | 0.1 % |
| −3σ bis −2σ | 2.1 % | 2.3 % |
| −2σ bis −1σ | 13.6 % | 15.9 % |
| −1σ bis 0 | 34.1 % | 50.0 % |
| 0 bis +1σ | 34.1 % | 84.1 % |
| +1σ bis +2σ | 13.6 % | 97.7 % |
| +2σ bis +3σ | 2.1 % | 99.7 % |
| über +3σ | 0.1 % | 99.9 % |
Lesbeispiel
Dein Testergebnis liegt 0.5 Standardabweichungen über dem Durchschnitt (z = +0.5). Wie viele Personen schnitten schlechter ab?
- Anteil unter dem Mittelwert (z < 0): 50 %
- Anteil zwischen 0 und +0.5σ: 19.1 %
- Total: 69.1 % schnitten schlechter ab als du.
4) Praxisbeispiel: Zuckerbeutel-Produktion
Eine Abfüllmaschine hat: \(\mu = 1010\) g, \(\sigma = 20\) g.
Problem: Etwa 31 % der Beutel enthalten weniger als 1000 g!
Ziel: 1000 g soll bei −2.5σ liegen (dann nur noch 0.6 % zu leichte Beutel).
Option A – Mittelwert erhöhen: \[ \mu_{neu} = 1000 + 2.5 \times 20 = 1050 \text{ g} \]
Option B – Streuung verringern: \[ \sigma_{neu} = \frac{10}{2.5} = 4 \text{ g} \]
Fazit: Mit der 68–95–99.7-Regel und dem z-Score können Produktionsprozesse quantitativ gesteuert werden – entweder durch Anpassen des Mittelwerts oder durch Verringern der Streuung.
Verständnisfragen
- Ein Datensatz hat \(\mu = 50\) und \(\sigma = 10\). Welcher Anteil der Werte liegt zwischen 30 und 70?
- Berechne den z-Score für \(x = 75\), wenn \(\mu = 60\) und \(\sigma = 8\).
- Was bedeutet ein z-Score von −2.5 anschaulich?
- Warum ist die Standardisierung nützlich, wenn man Werte aus verschiedenen Verteilungen vergleichen will?
- Eine Maschine produziert Teile mit \(\mu = 100\) mm und \(\sigma = 2\) mm. Wie gross ist der Anteil der Teile, die kürzer als 96 mm sind?
Bearbeitet nach mathsisfun.com