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LU02a – Normalverteilung
Ziel: Du kannst erklären, was eine Normalverteilung ist, ihre Eigenschaften benennen und reale Beispiele dafür nennen.
Kurztheorie (Merksätze)
- Viele reale Datensätze häufen sich um einen zentralen Wert – die Normalverteilung beschreibt genau diese Form.
- Die Kurve sieht aus wie eine Glocke → wird auch „Glockenkurve„ genannt.
- Mittelwert = Median = Modus – alle drei Lagemasse fallen auf denselben Punkt.
- Die Kurve ist symmetrisch: 50 % der Werte liegen links, 50 % rechts vom Mittelwert.
- Reale Daten sind selten perfekt normalverteilt – die Normalverteilung ist ein nützliches Modell.
1) Wie können Daten verteilt sein?
Daten lassen sich auf ganz verschiedene Arten verteilt sein:
| Typ | Beschreibung | Beispiel |
|---|---|---|
| Linksschief | Schweif zeigt nach links, Häufungen rechts | Sterbealter in entwickelten Ländern |
| Normalverteilt | Symmetrische Glocke, Häufung in der Mitte | Körpergrösse, Testergebnisse |
| Rechtsschief | Schweif zeigt nach rechts, Häufungen links | Einkommen, Wartezeiten |
In der Praxis begegnet uns die Normalverteilung sehr häufig – entweder weil Daten tatsächlich so verteilt sind, oder weil sie als Modell für Berechnungen dient.
2) Eigenschaften der Normalverteilung
Die Normalverteilung hat drei wichtige Eigenschaften:
2.1 Mittelwert = Median = Modus
Bei einer perfekten Normalverteilung fallen alle drei zentralen Lagemasse zusammen:
- Mittelwert (μ): arithmetischer Durchschnitt aller Werte
- Median: der mittlere Wert (50. Perzentil)
- Modus: der am häufigsten vorkommende Wert
Dies passiert genau dann, wenn die Verteilung perfekt symmetrisch ist.
2.2 Symmetrie
Die Glockenform ist links-rechts-symmetrisch um den Mittelwert μ. Das bedeutet:
- Genau 50 % der Werte liegen unterhalb des Mittelwerts.
- Genau 50 % der Werte liegen oberhalb des Mittelwerts.
2.3 Asymptotisch gegen null
Die Kurve nähert sich der x-Achse immer mehr an, erreicht sie aber nie (asymptotisch). Theoretisch können Werte beliebig weit vom Mittelwert entfernt sein – aber ihre Wahrscheinlichkeit wird extrem klein.
3) Beispiele aus der Praxis
Viele reale Phänomene folgen näherungsweise einer Normalverteilung:
| Phänomen | Mittelwert (typisch) | Bemerkung |
|---|---|---|
| Körpergrösse (Frauen CH) | ≈ 165 cm | Grosse wie kleine Frauen seltener |
| IQ-Werte | 100 | σ = 15 per Definition |
| Blutdruck (diastolisch) | ≈ 80 mmHg | Natürliche biologische Streuung |
| Produktionsmasse (Industrie) | Sollmass | Maschinen schwanken leicht |
| Testergebnisse | Klassenmittel | Bei gut konstruierten Tests |
Wichtig: Die meisten realen Daten sind nur näherungsweise normalverteilt. Das Modell ist trotzdem sehr nützlich, weil sich damit Wahrscheinlichkeiten berechnen lassen.
4) Die mathematische Form
Die Normalverteilung wird durch zwei Parameter vollständig beschrieben:
- μ (Mu) = Mittelwert → bestimmt, wo die Glocke zentriert ist
- σ (Sigma) = Standardabweichung → bestimmt, wie breit/schmal die Glocke ist
Die Dichtefunktion lautet:
\[ f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} \cdot e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} \]
Hinweis: Diese Formel muss nicht auswendig gelernt werden. Wichtig ist das Verständnis: μ verschiebt die Kurve horizontal, σ staucht oder streckt sie.
Verständnisfragen
- Nenne drei reale Phänomene, die näherungsweise normalverteilt sind.
- Was passiert mit der Glockenform, wenn der Mittelwert μ grösser wird?
- Warum sind Mittelwert, Median und Modus bei einer Normalverteilung gleich?
- Ist ein Datensatz mit einer kleinen Erhebung (z.B. 10 Messungen) schon normalverteilt? Begründe.
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