Faktorisierung [BZZ

Diese Seite ist nicht editierbar. Sie können den Quelltext sehen, jedoch nicht verändern. Kontaktieren Sie den Administrator, wenn Sie glauben, dass hier ein Fehler vorliegt.
====== Faktorisierung ======

Beim **Faktorisieren** wandelst du einen Term, der eine **Summe ( + )** oder eine **Differenz ( - )** ist, in ein **Produkt ( · )** um. Das ist nützlich, um zum Beispiel Nullstellen einfacher zu finden oder Brüche leichter zu kürzen.

Es gibt drei Techniken, um einen Term zu faktorisieren:

  - **Ausklammern:** \(x^{2} + 9x = x · (x + 9)\)
  - **Umformen in eine binomische Formel:** \(x^{2} + 6x + 9 = (x + 3)^{2}\)
  - **Linearfaktorzerlegung:** \(x^{2} - 2x - 8 = (x + 2) · (x - 4)\)

===== 1. Faktorisieren durch Ausklammern =====

Beim Ausklammern suchst du nach einer **Zahl** oder einer **Variablen**, die in jedem Teil (Summanden) des Terms vorkommt. Diesen gemeinsamen Faktor kannst du wegen des Distributivgesetzes vor die Klammer ziehen.

\(6a^{2} + 6b = 6 · (a^{2} + b)\)

In beiden Summanden \(6a^{2}\) und \(6b\) steckt die **6**. Du setzt eine Klammer und ziehst die **6** als **Faktor** vor die Klammer.

==== Beispiele ====

**Beispiel 1 - Zahl ausklammern**

\(13a^{2} + 13 = 13 · (a^{2} + 1)\)

<WRAP important>
Kannst du einen Summanden komplett vor die Klammer ziehen, dann bleibt in der Klammer eine **1** als Platzhalter stehen.
</WRAP>

**Beispiel 2 - Teil einer Zahl ausklammern (Primfaktorzerlegung)**

Zerlege die Zahlen zuerst in Primfaktoren:

\(12x^{2} + 8y = 4 · 3 · x^{2} + 4 · 2 · y\)

In beiden Teilen steckt eine **4**, die du ausklammerst:

\(4 · 3x^{2} + 4 · 2y = 4 · (3x^{2} + 2y)\)

**Beispiel 3 - Variable ausklammern**

\(13a + 7ab = a · (13 + 7b)\)

Eine Variable (hier \(a\)) ziehst du genauso vor die Klammer wie eine Zahl.

**Beispiel 4 - Zahl und Variable ausklammern**

\(13ac + 13ab = 13a · (c + b)\)

Auch eine Kombination aus Zahl und Variable (hier \(13a\)) lässt sich ausklammern. Wenn du unsicher bist, klammere einen Teil nach dem anderen aus.

**Beispiel 5 - Potenzen ausklammern**

\(13a^{3} + 7a^{2} = a^{2} · (13a + 7)\)

Bei Potenzen klammerst du immer die **niedrigere Hochzahl** aus (hier \(a^{2}\), weil \(a^{2}\) und \(a^{3}\) vorkommen).

**Beispiel 6 - Teilweise faktorisieren**

\(2ax + 2ab - 3by - 3b = 2a(x + b) - 3b(y + 1)\)

Hier teilst du den Term in zwei kleinere Terme auf und faktorisierst beide einzeln.

**Beispiel 7 - Mehrfaches Faktorisieren**

Klammere aus den ersten beiden Teilen \(2a\) und aus den letzten beiden \(3b\) aus:

\(2ax + 10a - 3bx - 15b = 2a(x + 5) - 3b(x + 5)\)

Jetzt steht in beiden Teilen die Klammer \((x + 5)\). Diese klammerst du ebenfalls aus:

\(2a(x + 5) - 3b(x + 5) = (2a - 3b) · (x + 5)\)

===== 2. Faktorisieren mit binomischen Formeln =====

Binomische Formeln kannst du auch **rückwärts** anwenden und damit Klammern erzeugen. Du gehst dabei immer gleich vor:

  - Basis \(a\) und \(b\) aus \(a^{2}\) und \(b^{2}\) bestimmen
  - prüfen, ob der Mittelterm \(2ab\) vorhanden ist
  - binomische Formel aufstellen

==== Beispiel 1 - Erste binomische Formel ====

Die erste binomische Formel \((a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}\) nutzt du, wenn das erste Rechenzeichen ein **+** ist.

\(x^{2} + 8x + 16\)

  * **Basis:** \(a^{2} = x^{2}\), also \(a = x\), und \(b^{2} = 16\), also \(b = 4\)
  * **Mittelterm:** \(2ab = 2 · x · 4 = 8x\) ist vorhanden.
  * **Ergebnis:** \(x^{2} + 8x + 16 = (x + 4)^{2}\)

==== Beispiel 2 - Zweite binomische Formel ====

Die zweite binomische Formel \((a - b)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2}\) nutzt du, wenn das erste Rechenzeichen ein **-** ist.

\(x^{2} - 6x + 9\)

  * **Basis:** \(a = x\) und \(b = 3\) (denn \(9 = 3 · 3\))
  * **Mittelterm:** \(2ab = 2 · 3 · x = 6x\) ist vorhanden.
  * **Ergebnis:** \(x^{2} - 6x + 9 = (x - 3)^{2}\)

==== Beispiel 3 - Dritte binomische Formel ====

Die dritte binomische Formel \((a + b)(a - b) = a^{2} - b^{2}\) nutzt du, wenn der Term nur **zwei Teile** hat und Ausklammern nicht möglich ist.

\(x^{2} - 25\)

  * **Basis:** \(a = x\) und \(b = 5\) (denn \(25 = 5 · 5\))
  * Einen Mittelterm \(2ab\) gibt es hier nicht.
  * **Ergebnis:** \(x^{2} - 25 = (x + 5)(x - 5)\)

===== 3. Faktorisieren mit der Linearfaktorzerlegung =====

Mit der Linearfaktorzerlegung faktorisierst du ein Polynom - also einen Term, in dem \(x\) vorkommt, z.B. \(x^{2} - 3x + 5\). Dabei berechnest du die Nullstellen und schreibst das Polynom als Produkt seiner Linearfaktoren. Wie das genau funktioniert, steht auf der Theorieseite **Linearfaktorzerlegung**.

===== Übungen =====

Faktorisiere die folgenden Terme. Die Lösungen findest du darunter.

  - \(12x + 2y + 10\)
  - \(24x + 12xy + 6x\)
  - \(4x^{2} - 20xy + 25y^{2}\)
  - \(3x^{4}y^{3} + 13x^{6}y^{4} + 11x^{5}y^{2}z^{2}\)
  - \(9x^{2} - 25y^{2}\)

==== Lösungen ====

  - Zahl ausklammern: \(12x + 2y + 10 = 2(6x + y + 5)\)
  - Zahl und Variable ausklammern: \(24x + 12xy + 6x = 6x(4 + 2y + 1)\)
  - zweite binomische Formel: \(4x^{2} - 20xy + 25y^{2} = (2x - 5y)^{2}\)
  - Potenzen ausklammern: \(3x^{4}y^{3} + 13x^{6}y^{4} + 11x^{5}y^{2}z^{2} = x^{4}y^{2}(3y + 13x^{2}y^{2} + 11xz^{2})\)
  - dritte binomische Formel: \(9x^{2} - 25y^{2} = (3x + 5y)(3x - 5y)\)

===== Merke =====

<WRAP important>
  * Prüfe **zuerst**, ob alle Summanden einen gemeinsamen Faktor haben - dann klammere ihn aus.
  * Eine binomische Formel passt direkt, wenn der Term **drei Teile** hat, aussen zwei Quadrate stehen und der Mittelterm \(2ab\) ist.
  * **Kontrolle:** Multipliziere dein Ergebnis wieder aus - es muss der Ausgangsterm entstehen. Achte dabei besonders auf die Vorzeichen.
</WRAP>

Quelle und weitere Beispiele: [[https://studyflix.de/mathematik/faktorisieren-2443|Studyflix - Faktorisieren]]