Faktorisierung

Beim Faktorisieren wandelst du einen Term, der eine Summe ( + ) oder eine Differenz ( - ) ist, in ein Produkt ( · ) um. Das ist nützlich, um zum Beispiel Nullstellen einfacher zu finden oder Brüche leichter zu kürzen.

Es gibt drei Techniken, um einen Term zu faktorisieren:

Ausklammern: \(x^{2} + 9x = x · (x + 9)\)
Umformen in eine binomische Formel: \(x^{2} + 6x + 9 = (x + 3)^{2}\)
Linearfaktorzerlegung: \(x^{2} - 2x - 8 = (x + 2) · (x - 4)\)

Beim Ausklammern suchst du nach einer Zahl oder einer Variablen, die in jedem Teil (Summanden) des Terms vorkommt. Diesen gemeinsamen Faktor kannst du wegen des Distributivgesetzes vor die Klammer ziehen.

\(6a^{2} + 6b = 6 · (a^{2} + b)\)

In beiden Summanden \(6a^{2}\) und \(6b\) steckt die 6. Du setzt eine Klammer und ziehst die 6 als Faktor vor die Klammer.

Beispiel 1 - Zahl ausklammern

\(13a^{2} + 13 = 13 · (a^{2} + 1)\)

Kannst du einen Summanden komplett vor die Klammer ziehen, dann bleibt in der Klammer eine 1 als Platzhalter stehen.

Beispiel 2 - Teil einer Zahl ausklammern (Primfaktorzerlegung)

Zerlege die Zahlen zuerst in Primfaktoren:

\(12x^{2} + 8y = 4 · 3 · x^{2} + 4 · 2 · y\)

In beiden Teilen steckt eine 4, die du ausklammerst:

\(4 · 3x^{2} + 4 · 2y = 4 · (3x^{2} + 2y)\)

Beispiel 3 - Variable ausklammern

\(13a + 7ab = a · (13 + 7b)\)

Eine Variable (hier \(a\)) ziehst du genauso vor die Klammer wie eine Zahl.

Beispiel 4 - Zahl und Variable ausklammern

\(13ac + 13ab = 13a · (c + b)\)

Auch eine Kombination aus Zahl und Variable (hier \(13a\)) lässt sich ausklammern. Wenn du unsicher bist, klammere einen Teil nach dem anderen aus.

Beispiel 5 - Potenzen ausklammern

\(13a^{3} + 7a^{2} = a^{2} · (13a + 7)\)

Bei Potenzen klammerst du immer die niedrigere Hochzahl aus (hier \(a^{2}\), weil \(a^{2}\) und \(a^{3}\) vorkommen).

Beispiel 6 - Teilweise faktorisieren

\(2ax + 2ab - 3by - 3b = 2a(x + b) - 3b(y + 1)\)

Hier teilst du den Term in zwei kleinere Terme auf und faktorisierst beide einzeln.

Beispiel 7 - Mehrfaches Faktorisieren

Klammere aus den ersten beiden Teilen \(2a\) und aus den letzten beiden \(3b\) aus:

\(2ax + 10a - 3bx - 15b = 2a(x + 5) - 3b(x + 5)\)

Jetzt steht in beiden Teilen die Klammer \((x + 5)\). Diese klammerst du ebenfalls aus:

\(2a(x + 5) - 3b(x + 5) = (2a - 3b) · (x + 5)\)

Binomische Formeln kannst du auch rückwärts anwenden und damit Klammern erzeugen. Du gehst dabei immer gleich vor:

Basis \(a\) und \(b\) aus \(a^{2}\) und \(b^{2}\) bestimmen
prüfen, ob der Mittelterm \(2ab\) vorhanden ist
binomische Formel aufstellen

Die erste binomische Formel \((a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}\) nutzt du, wenn das erste Rechenzeichen ein + ist.

\(x^{2} + 8x + 16\)

Basis: \(a^{2} = x^{2}\), also \(a = x\), und \(b^{2} = 16\), also \(b = 4\)
Mittelterm: \(2ab = 2 · x · 4 = 8x\) ist vorhanden.
Ergebnis: \(x^{2} + 8x + 16 = (x + 4)^{2}\)

Die zweite binomische Formel \((a - b)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2}\) nutzt du, wenn das erste Rechenzeichen ein - ist.

\(x^{2} - 6x + 9\)

Basis: \(a = x\) und \(b = 3\) (denn \(9 = 3 · 3\))
Mittelterm: \(2ab = 2 · 3 · x = 6x\) ist vorhanden.
Ergebnis: \(x^{2} - 6x + 9 = (x - 3)^{2}\)

Die dritte binomische Formel \((a + b)(a - b) = a^{2} - b^{2}\) nutzt du, wenn der Term nur zwei Teile hat und Ausklammern nicht möglich ist.

\(x^{2} - 25\)

Basis: \(a = x\) und \(b = 5\) (denn \(25 = 5 · 5\))
Einen Mittelterm \(2ab\) gibt es hier nicht.
Ergebnis: \(x^{2} - 25 = (x + 5)(x - 5)\)

Mit der Linearfaktorzerlegung faktorisierst du ein Polynom - also einen Term, in dem \(x\) vorkommt, z.B. \(x^{2} - 3x + 5\). Dabei berechnest du die Nullstellen und schreibst das Polynom als Produkt seiner Linearfaktoren. Wie das genau funktioniert, steht auf der Theorieseite Linearfaktorzerlegung.

Faktorisiere die folgenden Terme. Die Lösungen findest du darunter.

\(12x + 2y + 10\)
\(24x + 12xy + 6x\)
\(4x^{2} - 20xy + 25y^{2}\)
\(3x^{4}y^{3} + 13x^{6}y^{4} + 11x^{5}y^{2}z^{2}\)
\(9x^{2} - 25y^{2}\)

Zahl ausklammern: \(12x + 2y + 10 = 2(6x + y + 5)\)
Zahl und Variable ausklammern: \(24x + 12xy + 6x = 6x(4 + 2y + 1)\)
zweite binomische Formel: \(4x^{2} - 20xy + 25y^{2} = (2x - 5y)^{2}\)
Potenzen ausklammern: \(3x^{4}y^{3} + 13x^{6}y^{4} + 11x^{5}y^{2}z^{2} = x^{4}y^{2}(3y + 13x^{2}y^{2} + 11xz^{2})\)
dritte binomische Formel: \(9x^{2} - 25y^{2} = (3x + 5y)(3x - 5y)\)

Prüfe zuerst, ob alle Summanden einen gemeinsamen Faktor haben - dann klammere ihn aus.
Eine binomische Formel passt direkt, wenn der Term drei Teile hat, aussen zwei Quadrate stehen und der Mittelterm \(2ab\) ist.
Kontrolle: Multipliziere dein Ergebnis wieder aus - es muss der Ausgangsterm entstehen. Achte dabei besonders auf die Vorzeichen.

Quelle und weitere Beispiele: Studyflix - Faktorisieren